Gọi I là trung điểm của BC

Xét tam giác ABC vuông tại A có AI là đường trung tuyến nên \(AI=\frac{1}{2}BC\)

Theo quan hệ đường xiên và đường vuông góc ta có \(AH\le AI\Rightarrow AH\le\frac{1}{2}BC\)\(\Rightarrow\frac{AH}{BC}\le\frac{1}{2}\)(1)

Ta có \(\frac{S_{AMN}}{S_{ABC}}=\frac{\frac{1}{2}AM.AN}{\frac{1}{2}AH.BC}=\frac{AH^2}{AH.BC}=\frac{AH}{BC}\)(2)

Từ (1) (2) suy ra \(\frac{S_{AMN}}{S_{ABC}}\le\frac{1}{2}\)

rảnh quá ha...ko có gì làm hay sao vậy

bn lên vietjack mà xem

Bài này mình làm xong rồi nhưng lỡ tay bấm nút hủy.

MONG CÁC BẠN  

Dễ thấy có 1 nghiệm là x=2
Để pt có 2 nghiệm pb thì x²+(m+1)x-m-2 có nghiệm kép khác 2
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}2^2+\left(m+1\right).2-m-2\ne0\\\Delta=\left(m+1\right)^2+4\left(m+2\right)=0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}m\ne-4\\m=-3\end{cases}}}\)
Vậy m=-3

A B C D M H P N

Xét \(\Delta\)ADM và \(\Delta\)BAP có: ^DAM = ^ABP (=90⁰); AD = AB; ^ADM = ^BAP (Cùng phụ ^DAP)

=> \(\Delta\)ADM = \(\Delta\)BAP (g.c.g) => AM=BP (2 cạnh tương ứng) => BP=AN (Do AM=AN)

Xét tứ giác ABPN có: AN // BP; BP = AN; ^BAN = 90⁰ => Tứ giác ABPN là hcn

=> PN vuông góc AN hay PN vuông góc DN => ^PND = 90⁰ 

Xét tứ giác DNHP: ^PND = ^PHD (=90⁰) => Tứ giác DNHP nội tiếp đg tròn đường kính DP (1)

Xét tứ giác DHPC: ^DHP = ^DCP (=90⁰) => Tứ giác DHPC nội tiếp đg tròn đường kính DP (2)

Từ (1) và (2) => 5 điểm C;D;N;H;P cùng thuộc 1 đường tròn (đpcm).

AH vuông góc DM

=>góc MAH=góc MDA

Xét ΔABP vuông tại B và ΔDAM vuông tại A có

AB=AD

góc MAH=góc MDA

=>ΔABP=ΔDAM

=>BP=AM=AN

mà BC=AD

nên PC=ND

=>PCND là hình chữ nhật

=>P,C,D,N cùng nằm trên đường tròn đường kính DP

mà H nằm trên đường tròn đường kính DP(góc DHP=90 độ)

nên C,D,N,H,P cùng thuộc 1 đường tròn

ĐKXĐ : \(x\ne\pm1\)

Pt  \(\frac{m}{x-1}+\frac{4x}{x+1}\) đưa về dạng \(\left(m-4\right)x=-\left(m+4\right)\)

+) Nếu m=4

\(\Rightarrow0x=-8\) (vô nghiệm)

+) Nếu m khác 4 

\(\Rightarrow x=\frac{4+m}{4-m}\)

đk : \(\frac{4+m}{4-m}\ne1\)hay  \(m\ne0\)

\(\frac{4+m}{4-m}\ne-1\) đúng với mọi m

Để \(x\ge-2\)thì \(\frac{4+m}{4-m}\ge2\)

\(\Leftrightarrow\frac{12-m}{4-m}\ne1\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}m< 4\\m\ge12\end{cases}}\)

Vậy .....

\(P=\frac{4x-x^3-x+4x^3}{1-4x^2}:\frac{4x^2-x^4+1-4x^2}{1-4x^2}\)

\(=\frac{3x^3+3x}{1-4x^2}:\frac{1-x^4}{1-4x^2}\)

\(=\frac{3x\left(x^2+1\right)}{\left(1-x^2\right)\left(1+x^2\right)}\)

\(=\frac{3x}{1-x^2}\)

Giả sử \(AB< AC\). Lấy \(J\in AC\)sao cho \(AJ=AB\).

Khi đó \(AC+BI=AJ+JC+BI>AB+JC+IJ>AB+CI\).

Mâu thuẫn giả thiết. 

Tương tự với \(AB>AC\).

Do đó \(AB=AC\)hay tam giác \(ABC\)cân tại \(A\).