#Chuyên mục: Giải trí cùng BĐT BĐT luôn là một chuyên đề khó ở cấp THCS, học BĐT không những rèn luyện tư duy mà còn cho chúng ta cảm giác thư giãn khi giải xong một bài nào đó, rèn luyện cho chúng ta kĩ năng phối hợp những phương pháp c/m BĐT đã học! Vì vậy hôm nay mình xin mở chuyên mục :Giải trí cùng BĐT này, diễn ra vào thứ Hai hàng tuần (do hôm qua mình bận nên hôm nay mới...
Đọc tiếp
#Chuyên mục: Giải trí cùng BĐT
BĐT luôn là một chuyên đề khó ở cấp THCS, học BĐT không những rèn luyện tư duy mà còn cho chúng ta cảm giác thư giãn khi giải xong một bài nào đó, rèn luyện cho chúng ta kĩ năng phối hợp những phương pháp c/m BĐT đã học! Vì vậy hôm nay mình xin mở chuyên mục :Giải trí cùng BĐT này, diễn ra vào thứ Hai hàng tuần (do hôm qua mình bận nên hôm nay mới đăng)! Mọi người hãy tìm những lời giải khác nhau cho những bài BĐT này nhé:)
Mở đầu bằng 1 bài toán cơ bản:) (nhìn căn thức vậy thôi chứ nó khá cơ bản:D)
Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng:
\(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\ge\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2}\right)\)
Cách 1
Áp dụng BĐT cosi ta có:
\(\frac{a^2+b^2}{b}+2b\ge2\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}\)
=> \(\frac{a^2}{b}+3b\ge2\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}\)
Tương tự
=> \(VT+3\left(a+b+c\right)\ge2\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}+2\sqrt{2\left(b^2+c^2\right)}+2\sqrt{2\left(a^2+c^2\right)}\)
Lại có \(\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}\ge a+b;\sqrt{2\left(b^2+c^2\right)}\ge b+c;\sqrt{2\left(a^2+c^2\right)}\ge a+c\)
=> \(VT\ge\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{a^2+c^2}\right)\)(ĐPCM)
Dấu bằng xảy ra khi a=b=c
Cách 2 tương tự dùng Buniacoxki