\(VT=\sqrt{\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{1}{a+b}\right)^2-\left(\frac{2}{ab}-\frac{2}{a\left(a+b\right)}-\frac{2}{b\left(a+b\right)}\right)}\)

\(=\sqrt{\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{1}{a+b}\right)^2-\frac{2\left(a+b\right)-2b-2a}{ab\left(a+b\right)}}\)

\(=\sqrt{\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{1}{a+b}\right)^2}=\left|\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{1}{a+b}\right|=VP\)

Áp dụng tính M: \(M=\sqrt{1+999^2+\frac{999^2}{1000^2}}+\frac{999}{1000}\)

\(M=999.\sqrt{\frac{1}{999^2}+\frac{1}{1^2}+\frac{1}{\left(999+1\right)^2}}+\frac{999}{1000}\)

\(M=999.\left(\frac{1}{1}+\frac{1}{999}-\frac{1}{1000}\right)+\frac{999}{1000}\)

\(M=999+1-\frac{999}{1000}+\frac{999}{1000}=1000\)

Vậy M=1000.

B A C H K a c b

Vẽ \(AH\perp BC\)

Ta có: \(\Delta AHB\perp H\)

\(\Rightarrow SinB=\frac{AH}{c}\)

Ta có: \(\Delta AHC\perp H\)

\(\Rightarrow SinC=\frac{AH}{b}\)

\(\Rightarrow\frac{\sin B}{\sin C}=\frac{AH}{c}:\frac{AH}{b}=\frac{AH}{c}.\frac{b}{AH}=\frac{b}{c}\)

\(\Rightarrow\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}\left(1\right)\)

Vẽ \(BK\perp AC\)

Ta có \(\Delta BKC\perp K\)

\(\Rightarrow SinC=\frac{BK}{a}\)

Ta có: \(\Delta AKB\perp K\)

\(\Rightarrow SinA=\frac{BK}{c}\)

\(\Rightarrow\frac{\sin A}{\sin C}=\frac{BK}{c}:\frac{BK}{a}=\frac{BK}{c}.\frac{a}{BK}=\frac{a}{c}\)

\(\Rightarrow\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin C}\left(2\right)\)

Từ ( 1 ) và ( 2 ) suy ra \(\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}\left(đpcm\right)\)

A B C D I H 30 0

a) Ta thấy điểm C nằm trên nửa đường tròn đường kính AB => ^ACB = 90⁰

Hay ^ACI = 90⁰ . Xét \(\Delta\)AIC có: ^ACI = 90⁰ ; ^CAI (=^CAD) = 30⁰

=> IA= 2.IC => \(\frac{IC}{IA}=\frac{1}{2}\)

Xét \(\Delta\)CID và \(\Delta\)AIB có: ^CID = ^AIB (Đối đỉnh); ^ICD = ^IAB (2 góc nội tiếp chắn cung BD)

=> \(\Delta\)CID ~ \(\Delta\)AIB (g.g) => \(\frac{CD}{AB}=\frac{IC}{IA}=\frac{1}{2}\).

Vậy \(\frac{CD}{AB}=\frac{1}{2}.\)

b) Xét tứ giác ACIH: ^ACI = 90⁰; ^AHI = 90⁰ => Tứ giác ACIH nội tiếp đường tròn

=> ^IAH = ^ICH hay ^BAD = ^ICH. Mà ^BAD = ^BCD (2 góc nội tiếp chắn cung BD)

=> ^ICH = ^BCD = ^ICD => CI là phân giác ^DCH.

Chứng minh tương tự; ta có: DI là phân giác ^CDH

Xét \(\Delta\)CDH có: CI là phân giác ^DCH; DI là phân giác ^CDH

=> I là giao điểm của 3 đường phân giác của \(\Delta\)CDH (đpcm).

a,

\(A\Leftrightarrow\)\(\left(\frac{1}{\sqrt{x}-1}-\frac{\sqrt{x}+1}{\left(\sqrt{x}\right)^2+2\sqrt{x}+1}\right)\)\(\times\frac{x-1}{\sqrt{x}-3}\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{1}{\sqrt{x}-1}-\frac{\sqrt{x}+1}{\left(\sqrt{x}+1\right)^2}\right)\)\(\times\frac{x-1}{\sqrt{x}-3}\)(1)

Để A xđ <=> \(\hept{\begin{cases}x\ge0\\\sqrt{x}-1\ne0\\\sqrt{x}-3\ne0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x\ge0\\x\ne1\\x\ne9\end{cases}}\)

b , (1) <=> \(\left(\frac{\left(\sqrt{x}+1\right)^2-\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)^2}\right)\)\(\times\frac{x-1}{\sqrt{x}-3}\)

<=> \(\left(\frac{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}+1-\sqrt{x}+1\right)}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)^2}\right)\)\(\times\frac{x-1}{\sqrt{x}-3}\)

<=> \(\frac{2}{x-1}\times\frac{x-1}{\sqrt{x}-3}\)

<=> \(\frac{2}{\sqrt{x}-3}\)

ĐK: \(\hept{\begin{cases}1-a\ge0\\a\left(a-1\right)\ge0\\\frac{a-1}{a}\ge0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a\le1\\a\le0\vee a\ge1\\a< 0\vee a\ge1\end{cases}}\Leftrightarrow a< 0\)

Khi đó \(A=\sqrt{1-a}+\sqrt{a\left(a-1\right)}-\sqrt{\frac{a^2\left(a-1\right)}{a}}\)

\(=\sqrt{1-a}+\sqrt{a\left(a-1\right)}-\sqrt{a\left(a-1\right)}\)

\(=\sqrt{1-a}\)

\(\sqrt{4-2\sqrt{2}}+\sqrt{6-4\sqrt{2}}+\sqrt{9-4\sqrt{2}}\) 

\(=\sqrt{2+2\sqrt{2}.\sqrt{1}+1}+\sqrt{4-2.2.\sqrt{2}+2}+\sqrt{8-2\sqrt{8}.\sqrt{1}+1}\) 

\(=\sqrt{\left(\sqrt{2}-1\right)^2}+\sqrt{\left(2-\sqrt{2}\right)^2}+\sqrt{\left(\sqrt{8}-1\right)^2}\)

\(=\sqrt{2}-1+2-\sqrt{2}+\sqrt{8}-1\) 

\(=\sqrt{8}=2\sqrt{2}\)

P/s Nhi Cái Hằng Đẳng Thức cuối phân tích ra căn 8 là j sao ko ra thẳng 2 căn 2 luôn????

\(\sqrt{4-2\sqrt{2}}+\sqrt{6-4\sqrt{2}}+\sqrt{9-4\sqrt{2}}\) 

\(=\sqrt{\left(\sqrt{2-1}^2\right)}+\sqrt{\left(2-\sqrt{2}\right)^2}\)\(+\sqrt{\left(2\sqrt{2}-1\right)^2}\)

\(=\sqrt{2}-1+2-\sqrt{2}+2\sqrt{2}-1\)\(=2\sqrt{2}\)

P/s mình có cách phân tích ra hằng đẳng thức easy hơn bạn Nhi nè :)))

\(2ab=2\sqrt{2}\Rightarrow ab=\sqrt{2}\Rightarrow\left(\sqrt{2}-1\right)^2\) Đó bạn chỉ cần lấy 2ab với cái 2ab ở trong hằng đẳng thức chia cả 2 vế cho 2 là đã có thể biết được hằng đẳng thức nhé

Đặt \(\sqrt{2x^2+x+1}=a,\sqrt{x^2-x+1}=b\left(a,b>0\right)\) 0)

=> phương trình tương đương với a+b=a²-2b²

Đến đây bạn tự làm tiếp

đặt \(\sqrt{2x^2+x+9}=a,\sqrt{2x^2-x+1}=b\left(a,b>0\right)\)

phuong trình tương đương vơi \(a+b=\frac{a^2-b^2}{2}\)

Đến đây bạn tự làm tiếp