\(a,\frac{15}{x}=\frac{2}{6}\)

\(\Leftrightarrow15.6=2x\)

\(\Leftrightarrow90=2x\)

\(\Leftrightarrow x=45\)

\(b,\frac{x}{4}=\frac{y}{3}\)và \(x-y=49\)

ADTC dãy tỉ số bằng nhau ta cs

\(\frac{x}{4}=\frac{y}{3}=\frac{x-y}{4-3}=49\)

\(\Leftrightarrow\frac{x}{4}=49\Leftrightarrow x=196\)

\(\Leftrightarrow\frac{y}{3}=49\Leftrightarrow y=147\)

\(c,\frac{x}{4}=\frac{y}{3}=\frac{z}{2}\)và \(x-2y+5x=12\)

ADTC dãy tỉ số bằng nhau ta cs

\(\frac{x}{4}=\frac{y}{3}=\frac{z}{2}=\frac{x-2y+5z}{4-2.3+5.2}=\frac{12}{8}=\frac{3}{2}\)

\(\Leftrightarrow\frac{x}{4}=\frac{3}{2}\Leftrightarrow x=6\)

\(\Leftrightarrow\frac{y}{3}=\frac{3}{2}\Leftrightarrow y=18\)

\(\Leftrightarrow\frac{z}{2}=\frac{3}{2}\Leftrightarrow z=36\)

Bài làm

a) Xét ∆ABC vuông tại B có:

^BAC + ^C = 90°

Hay ^BAC + 30° = 90°

=> ^BAC = 60° 

Vì AD là phân giác của góc BAC.

=> ^DAC = 60°/2 = 30°

Xét tam giác ADC có:

^DAC + ^ACD + ^ADC = 180°

Hay 30° + 30° + ^ADC = 180°

=> ^ADC = 180° - 30° - 30°

=> ^ADC = 120°

b) Xét tam giác ABD và tam giác AED có:

AB = AE ( gt )

^BAD = ^EAD ( Do AD phân giác )

Cạnh AD chung.

=> ∆ABD = ∆AED ( c.g.c )

c) Vì ∆ABD = ∆AED ( cmt )

=> ^ABD = ^AED = 90°

=> DE vuông góc với AC tại E                (1)

Ta có: ^DAC = ^DCA = 30°

=> ∆DAC cân tại D.

=> AD = DC

Xét tam giác DEA và tam giác DEC có:

Góc vuông: ^DEA = ^DEC ( = 90° )

Cạnh huyền AD = DC ( cmt )

Góc nhọn: ^DAC = ^DCA ( cmt )

=> ∆DEA = ∆DEC ( g.c.g )

=> AE = EC 

=> E là trung điểm của AC.                       (2)

Từ (1) và (2) => DE là trung trực của AC ( đpcm )

Ta có : \(\frac{bz-cy}{a}=\frac{cx-az}{b}=\frac{ay-bx}{c}\)

\(=\frac{abz-acy}{a^2}=\frac{bcx-abz}{b^2}=\frac{acy-bcx}{c^2}=\frac{abz-acy+bcx-abz+acy-bcx}{a^2+b^2+c^2}=0\)

=> \(\frac{bz-cy}{a}=0\)=> bz - cy = 0 => bz = cy hay \(\frac{z}{c}=\frac{y}{b}\left(1\right)\)

=> \(\frac{cx-az}{b}=0\)=> cx - az = 0 => cx = az hay \(\frac{x}{a}=\frac{z}{c}\)(2)

Từ (1) và (2) => \(\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}\)

Bài làm

a) Xét ∆ABM và ∆DBM có:

AB = BD ( cmt )

^ABM = ^DBM ( do BM phân giác )

Cạnh AM chung.

=> ∆ABM = ∆DBM ( c.g.c )

b) Vì ∆ABM = ∆DBM ( cmt )

=> ^BAM = ^BDM 

Mà ^BAM = 90°

=> ^BDM = 90°

=> MD vuông góc với BC.

d) Xét ∆BAC và ∆BDE có:

^BAC = ^BDE ( = 90° )

AB = BD ( gt )

^ABC chung 

=> ∆BAC = ∆BDE ( g.c.g )

=> BE = BC

=> ∆BEC cân tại B

=> ^BEC = ( 180° - ^ABC )/2.                  (1)

Ta có: BA = BD ( gt )

=> ∆BAD cân tại B

=> ^BAD = ( 180° - ^ABC )/2.             (2)

Từ (1) và (2) => ^BEC = ^BAD 

Mà hai góc này ở vị trí đồng vị

=> AD // CE ( đpcm )