a) Gọi \(O\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD\), \(I\) là giao điểm của \(AM\) và \(SO\). Ta có:

\(\left. \begin{array}{l}I \in SO \subset \left( {SB{\rm{D}}} \right)\\I \in AM\end{array} \right\} \Rightarrow I = AM \cap \left( {SB{\rm{D}}} \right)\)

Xét tam giác \(SAC\) có:

\(ABCD\) là hình bình hành \( \Rightarrow O\) là trung điểm của \(AC\)

Theo đề bài ta có \(M\) là trung điểm của \(SC\)

Mà \(I = SO \cap AM\)

\( \Rightarrow I\) là trọng tâm của .

b) Gọi \(E\) là giao điểm của \(S{\rm{D}}\) và \(BI\). Ta có:

\(\left. \begin{array}{l}E \in BI \subset \left( {ABM} \right)\\E \in S{\rm{D}}\end{array} \right\} \Rightarrow E = S{\rm{D}} \cap \left( {ABM} \right)\)

c) Gọi \(J\) là giao điểm của \(MN\) và \(BE\). Ta có:

\(\left. \begin{array}{l}J \in BE \subset \left( {SB{\rm{D}}} \right)\\J \in MN\end{array} \right\} \Rightarrow J = MN \cap \left( {SB{\rm{D}}} \right)\)

a) Ta có:

\(\left. \begin{array}{l}M \in SA \subset \left( {SAC} \right)\\N \in SC \subset \left( {SAC} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow MN \subset \left( {SAC} \right)\)

b) Ta có:

\(\left. \begin{array}{l}O \in AC \subset \left( {SAC} \right)\\O \in B{\rm{D}} \subset \left( {SB{\rm{D}}} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow O \in \left( {SAC} \right) \cap \left( {SB{\rm{D}}} \right)\)

• Cách dựng:

Bước 1: Gọi \(A,B,C\) lần lượt là trung điểm của \(SS',S'S'',SS''\).

Bước 2: Gấp các đường \(AB,BC,AC\) sao cho các điểm \(S,S',S''\) trùng nhau.

Khi đó, ta được tứ diện đều \(SABC\).

• Chứng minh:

Vì \(A,B,C\) lần lượt là trung điểm của \(SS',S'S'',SS''\) nên theo tính chất đường trung bình của tam giác, ta có: \(SA = S'A = S'B = S''B = SC = S'C = AB = BC = AC = \frac{1}{2}SS'\).

Do vậy các tam giác \(SAC,S'AB,S''BC,ABC\) là các tam giác đều.

Vậy tứ diện \(SABC\) có các mặt \(SAC,SAB,SBC,ABC\) là các tam giác đều nên tứ diện \(SABC\) là tứ diện đều.

a) Ta có:

\(\begin{array}{l}\left. \begin{array}{l}O \in AC \subset \left( {SAC} \right)\\O \in BD \subset \left( {SB{\rm{D}}} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow O \in \left( {SAC} \right) \cap \left( {SB{\rm{D}}} \right)\\\left. \begin{array}{l}O' \in A'C' \subset \left( {SAC} \right)\\O' \in B'D' \subset \left( {SB{\rm{D}}} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow O' \in \left( {SAC} \right) \cap \left( {SB{\rm{D}}} \right)\end{array}\)

Mà \(S \in \left( {SAC} \right) \cap \left( {SB{\rm{D}}} \right)\)

Do đó, \(S,O,O'\) cùng nằm trên giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) và \(\left( {SB{\rm{D}}} \right)\).

Vậy \(S,O',O\) thẳng hàng.

b) Ta có:

\(\begin{array}{l}\left. \begin{array}{l}E \in AB \subset \left( {SAB} \right)\\E \in CD \subset \left( {SC{\rm{D}}} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow E \in \left( {SAB} \right) \cap \left( {SC{\rm{D}}} \right)\\\left. \begin{array}{l}E' \in A'B' \subset \left( {SAB} \right)\\E' \in C'D' \subset \left( {SC{\rm{D}}} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow E' \in \left( {SAB} \right) \cap \left( {SC{\rm{D}}} \right)\end{array}\)

Mà \(S \in \left( {SAB} \right) \cap \left( {SC{\rm{D}}} \right)\)

Do đó, \(S,E,E'\) cùng nằm trên giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {SC{\rm{D}}} \right)\).

Vậy \(S,E,E'\) thẳng hàng.

Tham khảo hình vẽ:

a) Gọi \(D = HK \cap AC\). Ta có:

\(\left. \begin{array}{l}D \in AC \subset \left( {ABC} \right)\\D \in HK\end{array} \right\} \Rightarrow M = HK \cap \left( {ABC} \right)\)

b) Gọi \(E = SI \cap BK\). Ta có:

\(\left. \begin{array}{l}E \in SI \subset \left( {SAI} \right)\\E \in BK \subset \left( {ABK} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow E \in \left( {SAI} \right) \cap \left( {ABK} \right)\)

Mà \(A \in \left( {SAI} \right) \cap \left( {ABK} \right)\).

Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {SAI} \right)\) và \(\left( {ABK} \right)\) là đường thẳng \(AE\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}\left. \begin{array}{l}I \in \left( {SAI} \right)\\I \in BC \subset \left( {BCH} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow I \in \left( {SAI} \right) \cap \left( {BCH} \right)\\\left. \begin{array}{l}H \in SA \subset \left( {SAI} \right)\\H \in \left( {BCH} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow H \in \left( {SAI} \right) \cap \left( {BCH} \right)\end{array}\)

Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {SAI} \right)\) và \(\left( {BCH} \right)\) là đường thẳng \(HI\).

Hình a có số mặt ít nhất

Các công trình kiến trúc, đồ vật có trong hình 30 có mặt bên là hình tam giác.

giao tuyến của mp tạo bởi các tia OA và OB với các mặt tường là AC và BC

‒ Với ghế 4 chân, nếu 4 điểm tại chân ghế không thuộc một mặt phẳng thì ghế có thể bị khập khiễng.

‒ Với ghế 3 chân, ta chỉ xác định được duy nhất một mặt phẳng đi qua 3 điểm thuộc chân ghế nên ghế ba chân không thể khập khiễng.

a) Ta có:

\(\begin{array}{l}\left. \begin{array}{l}M \in \left( {M,a} \right)\\M \in \left( {M,b} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow M \in \left( {M,a} \right) \cap \left( {M,b} \right)\\\left. \begin{array}{l}O \in a \subset \left( {M,a} \right)\\O \in b \subset \left( {M,b} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow O \in \left( {M,a} \right) \cap \left( {M,b} \right)\end{array}\)

Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {M,a} \right)\) và \(\left( {M,b} \right)\) là đường thẳng \(MO\).

b) Ta có:

\(\begin{array}{l}\left. \begin{array}{l}A \in \left( {MAB} \right)\\A \in a \subset \left( {a,b} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow A \in \left( {MAB} \right) \cap \left( {a,b} \right)\\\left. \begin{array}{l}B \in \left( {MAB} \right)\\B \in b \subset \left( {a,b} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow B \in \left( {MAB} \right) \cap \left( {a,b} \right)\end{array}\)

Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {MAB} \right)\) và \(\left( {a,b} \right)\) là đường thẳng \(AB\) (1).

c) Ta có:

\(\left. \begin{array}{l}A' \in MA \subset \left( {MAB} \right)\\B' \in MB \subset \left( {MAB} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow A'B' \subset \left( {MAB} \right)\)

Vì \(C \in A'B' \subset \left( {MAB} \right)\) và \(C \in mp\left( {a,b} \right)\) nên điểm \(C\) nằm trên giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {MAB} \right)\) và \(\left( {a,b} \right)\) (2).

Từ (1) và (2) suy ra ba điểm \(A,B,C\) thẳng hàng.