a: BC: x+y+4=0

=>AH: -x+y+c=0

Thay x=-1 và y=-2 vào AH, ta được:

c+1-2=0

=>c=1

=>-x+y+1=0

=>x-y-1=0

b: BC: x+y+4=0

=>B(x;-x-4)

Tọa độ M là:

xM=(x-1)/2 và yM=(-x-4-2)/2=(-x-6)/2

BC: x+y+4=0

=>MN: x+y+c=0

Thay xM=(x-1)/2 và yM=(-x-6)/2 vào MN, ta được:

\(\dfrac{x-1}{2}+\dfrac{-x-6}{2}+c=0\)

=>c+(1/2x-1/2-1/2x-3)=0

=>c=7/2

=>x+y+7/2=0

Chà bài toán khó chịu thật, phải vẽ hẳn hình ra mới thấy được hướng giải:

Đường tròn (C) tâm \(I\left(0;1\right)\) bán kính \(R=2\)

\(\overrightarrow{IO}=\left(0;-1\right)\Rightarrow IO=1\)

\(\overrightarrow{IA}=\left(0;-4\right)\Rightarrow IA=4=2R=2IM\)

Xét hai tam giác MIO và AIM có:

\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{IM}{IA}=\dfrac{IO}{IM}=\dfrac{1}{2}\\\widehat{MIO}\text{ chung}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\Delta MIO\sim\Delta AIM\left(c.g.c\right)\)

\(\Rightarrow\dfrac{OM}{AM}=\dfrac{IO}{IM}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow AM=2OM\)

\(\Rightarrow P=2\left(OM+MB\right)\ge2OB\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi M là giao điểm OB và (C)

\(P_{min}=2OB=2\sqrt{17}\)

Sửa đề: D là phân giác trong

góc CJD=2*góc CAD

=>góc CJD=2*góc BAD=2*góc BCM

=>góc CJD=2*góc BCM

=>ΔCJD cân tại J

=>góc CJD+2*góc JCD=180 độ

=>góc BCM+góc JCD=90 độ

=>CM vuông góc CJ

=>CJ: x-y+4=0

Tọa độ C là:

x-y+4=0 và x+y-2=0

=>x=-1 và y=3

A,C là hai điểm chung của (I) và (J) nên AC đi qua C và vuông góc IJ

=>AC: x=-1

(C) ngoại tiếp ΔACB có tâm I(2;2); ban kính IC=căn 10

(C): (x-2)^2+(y-2)^2=10

Tọa độ A là:

(x-2)^2+(y-2)^2=10 và x=-1

=>x=-1 và y=1

Do M=CM cắt (C) nên M(3;-1) là điểm chính giữa của cung BC

=>IM vuông góc BC

BC đi qua C, vuông góc IM

nên BC: x-3y+10=0

B=BC giao (C)

nên B(19/5;23/5)

\(\overrightarrow{AH}=\left(-6;8\right)=-2\left(3;-4\right)\)

BC vuông góc AH nên nhận \(\left(3;-4\right)\) là 1 vtpt

Tới đây để giải bài này 1 cách nhanh chóng thì chúng ta cần sử dụng tính chất: tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), gọi H là trực tâm và M là trung điểm BC thì ta luôn có: \(\overrightarrow{AH}=2\overrightarrow{OM}\)

Do đó ta dễ dàng suy ta \(M\left(-3;4\right)\)

Phương trình BC qua M có dạng: 

\(3\left(x+3\right)-4\left(y-4\right)=0\Leftrightarrow3x-4y+25=0\)

Tọa độ B, C là nghiệm \(\left\{{}\begin{matrix}x^2+y^2=25\\3x-4y+25=0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow x^2+\left(\dfrac{3x+25}{4}\right)^2=25\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\left(loại\right)\\x=-7\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow y=1\Rightarrow C\left(-7;1\right)\)

I nằm trên \(y=-x\Rightarrow I\left(a;-a\right)\) với \(a>0\)

(S) tiếp xúc với các trục tọa độ nên:

\(d\left(I;Ox\right)=d\left(I;Oy\right)=R\)

\(\Rightarrow\left|-a\right|=\left|a\right|=3\Rightarrow a=3\)

Phương trình: \(\left(x-3\right)^2+\left(y+3\right)^2=9\)

Theo t/c đường tròn thì A là trung điểm MN \(\Rightarrow IA\perp MN\) với I là tâm (C)

\(\Rightarrow d\) đi qua A và nhận \(\overrightarrow{IA}\) là 1 vtpt

Ta có: \(OB=OC=R\) ; \(AB=AC\) (t/c hai tiếp tuyến cắt nhau)

\(\Rightarrow OA\) là trung trực của BC

\(\Rightarrow OA\) là phân giác góc \(\widehat{BAC}\) (1)

Mặt khác I thuộc OA \(\Rightarrow IB=IC\Rightarrow\Delta IBC\) cân tại I

\(\Rightarrow\widehat{CBI}=\widehat{BCI}\)

Mà \(\widehat{BCI}=\widehat{ABI}\) (góc nội tiếp và góc tiếp tuyến cùng chắn cung BI)

\(\Rightarrow\widehat{CBI}=\widehat{ABI}\Rightarrow BI\) là phân giác \(\widehat{ABC}\) (2)

(1);(2) \(\Rightarrow I\) là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC

https://hoc24.vn/cau-hoi/.7839714164433

Anh giúp em ạ! 

Phương trình đường tròn:

(C): \(\left(x-2\right)^2+\left(y+3\right)^2=7\)

Giả sử \(\overrightarrow{n}=\left(a;b\right)\) là 1 vtpt của denta với a;b không đồng thời bằng 0

Phương trình denta:

\(a\left(x-5\right)+b\left(y-1\right)=0\Rightarrow ax+by-5a-b=0\)

Do denta cách B một khoảng bằng 5 nên:

\(\dfrac{\left|2a-3b-5a-b\right|}{\sqrt{a^2+b^2}}=5\Leftrightarrow\dfrac{\left|3a+4b\right|}{\sqrt{a^2+b^2}}=5\)

\(\Rightarrow\left(3a+4b\right)^2=25\left(a^2+b^2\right)\)

\(\Rightarrow16a^2-24ab+9b^2=0\)

\(\Rightarrow\left(4a-3b\right)^2=0\)

\(\Rightarrow4a-3b=0\)

Chọn \(\left(a;b\right)=\left(3;4\right)\)

\(\Rightarrow\) Phương trình denta có dạng:

\(3\left(x-5\right)+4\left(y-1\right)=0\Leftrightarrow3x+4y-19=0\)