a: Xét tứ giác MAOB có \(\widehat{MAO}+\widehat{MBO}=90^0+90^0=180^0\)

nên MAOB là tứ giác nội tiếp

b: Xét (O) có

\(\widehat{MAC}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến AM và dây cung AC

\(\widehat{ADC}\)là góc nội tiếp chắn cung AC

Do đó: \(\widehat{MAC}=\widehat{ADC}\)

Xét ΔMAC và ΔMDA có

\(\widehat{MAC}=\widehat{MDA}\)

\(\widehat{AMC}\) chung

Do đó: ΔMAC~ΔMDA

=>\(\dfrac{MA}{MD}=\dfrac{MC}{MA}\)

=>\(MA^2=MD\cdot CM\)

Ta có \(\widehat{B}+\widehat{C}=180^0-\widehat{A}=120^0\)

\(\Rightarrow\widehat{MBC}+\widehat{MCB}=\dfrac{1}{2}\widehat{B}+\dfrac{1}{2}\widehat{C}=60^0\)

\(\Rightarrow\widehat{BMC}=180^0-\left(\widehat{MBC}+\widehat{MCB}\right)=120^0\)

\(\Rightarrow\widehat{B'MC'}=\widehat{BMC}=120^0\) (đối đỉnh)

\(\Rightarrow\widehat{A}+\widehat{B'MC'}=60^0+120^0=180^0\)

\(\Rightarrow AB'MC'\) nội tiếp

\(ac=-12< 0\) nên pt luôn có 2 nghiệm pb trái dấu với mọi m

Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=m-1\\x_1x_2=-12\end{matrix}\right.\)

\(\left(x_1-1\right)\left(x_2-1\right)+12=0\)

\(\Leftrightarrow x_1x_2-x_1-x_1+1+12=0\)

\(\Leftrightarrow x_1x_2-\left(x_1+x_2\right)+13=0\)

\(\Leftrightarrow-12-\left(m-1\right)+13=0\)

\(\Leftrightarrow2-m=0\)

\(\Leftrightarrow m=2\)

Em viết đề chính xác lại nhé

a: Thay x=2 và y=1 vào hệ, ta được:
\(\left\{{}\begin{matrix}2\cdot a+1\cdot b=2\\2a\cdot2-3b\cdot1=-36\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}2a+b=2\\4a-3b=-36\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}6a+3b=6\\4a-3b=-36\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}10a=-30\\2a+b=2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}b=-3\\2a=2-b=2-\left(-3\right)=5\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}b=-3\\a=\dfrac{5}{2}\end{matrix}\right.\)

b: Thay x=1 và y=2 vào hệ, ta được:

\(\left\{{}\begin{matrix}a\cdot1+b\cdot2=5\\a\cdot1-2\cdot b=3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2a=8\\a-2b=3\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}a=4\\2b=a-3=4-3=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=4\\b=\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\)

\(\Delta'=\left(m+1\right)^2-\left(m^2-2m+5\right)=4\left(m-1\right)>0\Rightarrow m>1\)

Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\left(m+1\right)\\x_1x_2=m^2-2m+5\end{matrix}\right.\)

Do \(x_1x_2=\left(m-1\right)^2+4>0;\forall m\Rightarrow x_1;x_2\) cùng dấu

\(\Rightarrow\left|x_1\right|+\left|x_2\right|=\left|x_1+x_2\right|\)

Ta có:

\(\sqrt{x_1^2}+4mx_1-m^2+\sqrt{x_2^2}+4mx_2+4m^2=7m+2\)

\(\Leftrightarrow\left|x_1\right|+\left|x_2\right|+4m\left(x_1+x_2\right)+3m^2-7m-2=0\)

\(\Leftrightarrow\left|x_1+x_2\right|+8m\left(m+1\right)+3m^2-7m-2=0\)

\(\Leftrightarrow2\left|m+1\right|+11m^2+m-2=0\) (1)

Mà \(m>1\Rightarrow m+1>0\Rightarrow\left|m+1\right|=m+1\)

Nên (1) tương đương:

\(2\left(m+1\right)+11m^2+m-2=0\)

\(\Leftrightarrow11m^2+3m=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=0< 1\left(loại\right)\\m=-\dfrac{3}{11}< 1\left(loại\right)\end{matrix}\right.\)

Vậy ko tồn tại m thỏa mãn yêu cầu đề bài

a: Phương trình hoành độ giao điểm là:

\(x^2=-3x+m^2+1\)

=>\(x^2+3x-m^2-1=0\)(1)

\(\text{Δ}=3^2-4\cdot1\cdot\left(-m^2-1\right)\)

\(=9+4m^2+4=4m^2+13>=13>0\forall m\)

=>(P) luôn cắt (d) tại hai điểm phân biệt

b: Vì Δ>0 nên phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt là:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1=\dfrac{-3-\sqrt{4m^2+13}}{2}\\x_2=\dfrac{-3+\sqrt{4m^2+13}}{2}\end{matrix}\right.\)

\(\left|x_1\right|+3\left|x_2\right|=17\)

=>\(\dfrac{\left|-3-\sqrt{4m^2+13}\right|}{2}+\dfrac{3\cdot\left|-3+\sqrt{4m^2+13}\right|}{2}=17\)

=>\(\dfrac{\left|\sqrt{4m^2+13}+3\right|}{2}+\dfrac{3\cdot\left|\sqrt{4m^2+13}-3\right|}{2}=17\)

=>\(\dfrac{\sqrt{4m^2+13}+3}{2}+\dfrac{3\cdot\left(\sqrt{4m^2+13}-3\right)}{2}=17\)

=>\(\dfrac{4\cdot\sqrt{4m^2+13}-6}{2}=17\)

=>\(2\cdot\sqrt{4m^2+13}-3=17\)

=>\(2\cdot\sqrt{4m^2+13}=20\)

=>\(\sqrt{4m^2+13}=10\)

=>\(4m^2+13=100\)

=>\(m^2=\dfrac{87}{4}\)

=>\(m=\pm\dfrac{\sqrt{87}}{2}\)

Lời giải:

a. Xét tam giác $ABC$ và $HBA$ có:

$\widehat{BAC}=\widehat{BHA}=90^0$

$\widehat{B}$ chung

$\Rightarrow \triangle ABC\sim \triangle HBA$ (g.g)

$\Rightarrow \frac{AB}{HB}=\frac{BC}{BA}$

$\Rightarrow AB^2=HB.BC$

b.

$BC=BH+CH=4+9=13$ (cm) 

Từ kết quả phần b:

$AB^2=BH.BC=4.13=52\Rightarrow AB=\sqrt{52}$ (cm) 

$AH=\sqrt{AB^2-BH^2}=\sqrt{52-4^2}=6$ (cm) - áp dụng định lý Pitago

c.

Xét tam giác $AFH$ và $CEH$ có:

$\widehat{FHA}=\widehat{EHC}$ (cùng phụ $\widehat{AHE}$)

$\widehat{FAH}=\widehat{ECH}$ (cùng phụ $\widehat{HAC}$)

$\Rightarrow \triangle AFH\sim \triangle CEH$ (g.g)

Hình vẽ: