\(4x^2+4x+15=\left(2x\right)^2+2.2x.1+1^2-1^2+15=\left(2x+1\right)^2+14>0\)với mọi x

a) Xét tứ giác ADME có : 

DM//AE ( DM//AC, E \(\in\)AC )

ME//AD ( ME//AB, D\(\in\)AB )

=> ADME là hình bình hành 

b) Gọi N là giao điểm AH và DE

Xét ∆ABC có : 

M là trung điểm BC 

ME//AB 

DM//AC 

=> D là trung điểm AB 

E là trung điểm AC 

Xét ∆ABC có : 

D là trung điểm AB 

E là trung điểm AC 

=> DE là đường trung bình ∆ABC 

=> DE//BC 

=> NI//BC 

=> NI//HK 

Vì AH\(\perp\)BC , IK\(\perp\)BC 

=> AH//IK 

=> MH//IK ( N \(\in\)AH )

Xét tứ giác NIKH ta có : 

NH//IK 

NI//HK 

=> NIKH là hình bình hành 

=> NH = IK 

Xét ∆ABH ta có : 

DN//BH 

D là trung điểm AB (cmt)

=> N là trung điểm AH 

=> AN= NH = \(\frac{5}{2}\)= 2,5 cm

=> NH = IK = 2,5cm

PLEASE HELP ME !!!

a) \(D=-x^2+x+\frac{1}{2}\)

\(=-\left(x^2-x+1\right)+\frac{3}{2}\)

\(=-\left(x-1\right)^2+\frac{3}{2}\)

Vì \(-\left(x-1\right)^2\le0;\forall x\)

\(\Rightarrow-\left(x-1\right)^2+\frac{3}{2}\le0+\frac{3}{2};\forall x\)

Hay \(D\le\frac{3}{2};\forall x\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x-1=0\)

                        \(\Leftrightarrow x=1\)

Vậy MAX\(D=\frac{3}{2}\Leftrightarrow x=1\)

Các phần khác tương tự vì tui lười làm khó thì nhắn tin hỏi

a)

\(D=-x^2+x+\frac{1}{2}=-\left(x^2-2.x.\frac{1}{2}+\frac{1}{4}-\frac{1}{4}\right)+\frac{1}{2}=-\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\)

Ta có: \(-\left(x-\frac{1}{2}\right)^2\le0\)

=> \(D=-\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\le\frac{3}{4}\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ  khi \(x-\frac{1}{2}=0\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}\)

max D =3/4 tại x=1/2

\(F=1-\left(x+3\right)^2\)

có: \(-\left(x+3\right)^2\le0\)

=> \(F=1-\left(x+3\right)^2\le1-0=1\)

max F =1 tại x=-3

\(K=x^2+2x+1+\frac{1}{\left(x+1\right)^2}=\left(x+1\right)^2+\frac{1}{\left(x+1\right)^2}-2+2=\left[x+1-\frac{1}{x+1}\right]^2+2\ge2\)

"=" xảy ra <=> \(x+1-\frac{1}{x+1}=0\Leftrightarrow\left(x+1\right)^2-1=0\Leftrightarrow\left(x+1\right)^2=1\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x+1=1\\x+1=-1\end{cases}\Leftrightarrow}\orbr{\begin{cases}x=0\\x=-2\end{cases}}\)

min K =2 tại x=0 hoặc x=-2

Gọi \(\left(2n-1;2n+1\right)=d\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}2n-1⋮d\\2n+1⋮d\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\left(2n+1\right)-\left(2n-1\right)⋮d\)

\(\Rightarrow2⋮d\)

\(\Rightarrow d\inƯ\left(2\right)=\left\{1;2\right\}\)

Do \(2n\)là số chẵn nên 2n+1 và 2n-1 là 2 số lẻ liên tiếp 

Mà ước chung của 2 số lẻ thì không phải là 1 số chẵn

\(\Rightarrow d=1\)

\(\Rightarrow2n-1\)và 2n+1 nguyên tố cùng nhau

gọi d là ưcln (2n-1,2n+1)

=> 2n-1:d

     2n+1:d

=>2:d

 suy ra d =1,2

nếu d =2 thì 2n+1 :2(vô lí vì 2n+1 lẻ)

 suy ra d=1

đề bài sai rồi phải là a+b+c mới đúng

lê duy mạnh ns đúng

đây bdt bunhiacopxki

nhân chéo lên sau đó nhân ra là đc

nhiều cách

Làm bài này một hồi chắc bay não:v

Bài 1:

a) Áp dụng BĐT AM-GM:

\(VT\le\frac{a+b}{4}+\frac{b+c}{4}+\frac{c+a}{4}=\frac{a+b+c}{2}^{\left(đpcm\right)}\)

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c.

b)Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có đpcm.

Bài 2:

a) Dấu = bài này không xảy ra ? Nếu đúng như vầy thì em xin một slot, ăn cơm xong đi ngủ rồi dậy làm:v

b) Theo BĐT Bunhicopxki:

\(VT^2\le3.\left[\left(a+b\right)+\left(b+c\right)+\left(c+a\right)\right]=6\Rightarrow VT\le\sqrt{6}\left(qed\right)\)

Đẳng thức xảy r akhi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)

Bài 3: Theo BĐT Cauchy-Schwarz và bđt AM-GM, ta có:

\(VT\ge\frac{4}{2-\left(x^2+y^2\right)}\ge\frac{4}{2-2xy}=\frac{2}{1-xy}\)

Nói trước là bài 3 em không chắc, tự dưng thấy tại sao lại có đk \(\left|x\right|< 1;\left|y\right|< 1?!?\) Chẳng lẽ lời giải của em sai hay là đề thừa?