Theo bất đẳng thức tam giác ta có:

\(OA+OB>AB\)

\(OB+OC>BC\)

\(OC+OD>DC\)

\(OD+OA>AD\)

Cộng vế theo vế thì \(2\left(OA+OB+OC+OD\right)>AB+BC+CA+AD\)

\(\Rightarrow OA+OB+OC+OD>\frac{AB+BC+CA+AD}{2}\) ( 1 )

Theo bất đẳng thức tam giác ta có:

\(AB+BC>CA;BC+CD>BD;CD+DA>CA;DA+AB>BD\)

Cộng vế theo vế ta có:

\(2\left(AB+BC+CD+AD\right)>2\left(CA+BD\right)=2\left(AO+OC+OD+OB\right)\)

\(\Leftrightarrow AB+BC+CD+DA>OA+OB+OC+OD\) ( 2 )

Từ ( 1 ) ; ( 2 ) suy ra đpcm.

a

Đặt \(x^2+x=a\)

Ta có:\(a^2-2a-15=\left(a^2-2a+1\right)-16=\left(a-1\right)^2-4^2=\left(a-5\right)\left(a+3\right)\)

Thay \(a=x^2+x\) vào ta được \(\left(x^2+x\right)^2-2\left(x^2+x\right)-15=\left(x^2+x-5\right)\left(x^2+x+3\right)\)

b

\(A=-x^2+2xy-4y^2+2x+10y-8\)

\(-A=x^2-2xy+4y^2-2x-10y+8\)

\(-A=\left(x^2-2xy+y^2\right)-\left(2x+10y\right)+3y^2+8\)

\(-A=\left(x-y\right)^2-2\left(x-y\right)+1+3\left(y^2-4y+4\right)+3\)

\(-A=\left(x-y-1\right)^2-3\left(y-2\right)^2+3\ge3\) hay \(A\le3\)

Dấu "=" xảy ra tại \(x=3;y=2\)

P/S:ko chắc

Câu đầu em làm đúng.

Câu thứ 2 em xem lại nha! Chú ý là  khi kết luận: \(A^2-B^2+a\ge a\) là sai nhé. Phải đưa về dạng \(A^2+B^2+a\ge a\)

\(A=-x^2+2xy-4y^2+2x+10y-8\)

\(\Rightarrow-A=x^2-2xy+4y^2-2x-10y+8\)

\(=\left(x^2-2xy+y^2\right)+3y^2-2x+2y-12y+8\)

\(=\left(x-y\right)^2-2\left(x-y\right)+1+3\left(y^2-4y+4\right)-5\)

\(=\left(x-y-1\right)^2+3\left(y-2\right)^2-5\ge-5\)

\(\Rightarrow A\le5\)

"=" xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}x-y-1=0\\y-2=0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=3\\y=2\end{cases}}\)

Vậy max A = 5 tại x = 3 và y = 2.

Chứng minh:

a) Chứng minh ABP₂P₃ là hình bình hành.

Xét tứ giác AP₃CP có: O₃ là trung điểm của hai đường chéo AC và PP₃

=> AP₃CP là hình bình hành => AP₃ //= PC  (1) 

Xét tứ giác BP2CP có: O2 là trung điểm của hai đường chéo BC và PP2

=> BP2CP là hình bình hành => BP2 //= PC  (2)

Từ (1); (2) => AP₃ //= BP₂

=> ABP₂P₃ là hình bình hành.

b) Tương tự như trên chúng ta cũng chứng minh được BP₁P₃C LÀ HÌNH bình hành

=> CP₁ cắt BP₃ tại trung điểm mỗi đường ,gọi điểm đó là I  (3)

ABP₂P₃ là hình bình hành.

=> AP₂ cắt BP₃  tại trung điểm mỗi đường  (4)

Từ (3); (4) => I là trung điểm AP₂ 

=>  3 Đường thẳng AP₂, BP₃, CP₁ đồng qui.

cảm ơn bạn nhé <333

\(A=\left(x+1\right)^3-x\left(x-2\right)^2-7x^2+4x+5\)

\(A=x^3+3x^2+3x+1-x\left(x^2-4x+4\right)-7x+4x+5\)

\(A=x^3+3x^2+3x+1-x^3+4x^2-4x-7x+4x+5\)

\(A=7x^2+3x+6\)

P/S:Đến đây bạn thay vào nốt