Hình vuông ABCD canh là 2a.M và N lần lượt là trung điểm của BC và CD. tính cos góc NAM
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Đặt \(\left(x;y;z\right)=\left(a^3;b^3;c^3\right)\) Do \(xyz=1\Rightarrow abc=1\)
Ta có \(M=\frac{1}{a^3+b^3+1}+\frac{1}{b^3+c^3+1}+\frac{1}{a^3+c^3+1}\)
Cần chứng minh \(a^3+b^3\ge ab\left(a+b\right)\) \(BĐT\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a-b\right)^2\ge0\left(true\right)\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a^3+b^3+1}\le\frac{1}{ab\left(a+b\right)+1}=\frac{abc}{ab\left(a+b+c\right)}=\frac{c}{a+b+c}\)
Tương tự cộng lại ra ĐPCM
ĐKXĐ:x\(\ge-1\)
Đặt \(\sqrt{x+1}=a\ge0\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a^2=x+1\\a^2-1=x\\x^2=a^4-2a^2+1\end{cases}}\)
Khi đó pt trên trở thành : \(4a=a^4-2a^2+1-5\left(a^2-1\right)+14\)
\(\Leftrightarrow a^4-2a^2+1-5a^2+5+14-4a=0\)
\(\Leftrightarrow a^4-7a^2-4a+20=0\)
\(\Leftrightarrow a^4-4a^2-3a^2+6a-10a+20=0\)
\(\Leftrightarrow a^2\left(a-2\right)\left(a+2\right)-3a\left(a-2\right)-10\left(a-2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-2\right)\left(a^3+2a^2-3a-10\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-2\right)\left(a^3-2a^2+4a^2-8a+5a-10\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-2\right)\left(a-2\right)\left(a^2+4a+5\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-2\right)^2=0\)(vì a2+4a+5=(a+2)2+1\(\ge1>0\))
\(\Leftrightarrow x=2\)(thỏa mãn ĐKXĐ)
\(\frac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x+2}}+\frac{1}{\sqrt{x+2}+\sqrt{x+3}}+...+\frac{1}{\sqrt{x+2019}+\sqrt{x+2020}}=11\)
\(\Leftrightarrow\)\(\frac{\sqrt{x+2}-\sqrt{x+1}}{\left(\sqrt{x+1}+\sqrt{x+2}\right)\left(\sqrt{x+2}-\sqrt{x+1}\right)}+\frac{\sqrt{x+3}-\sqrt{x+2}}{\left(\sqrt{x+2}+\sqrt{x+3}\right)\left(\sqrt{x+3}-\sqrt{x+2}\right)}\)
\(+...+\frac{\sqrt{x+2020}-\sqrt{x+2019}}{\left(\sqrt{x+2019}+\sqrt{x+2020}\right)\left(\sqrt{x+2020}-\sqrt{x+2019}\right)}=11\)
\(\Leftrightarrow\)\(\frac{\sqrt{x+2}-\sqrt{x+1}}{x+2-x-1}+\frac{\sqrt{x+3}-\sqrt{x+2}}{x+3-x-2}+...+\frac{\sqrt{x+2020}-\sqrt{x+2019}}{x+2020-x-2019}=11\)
\(\Leftrightarrow\)\(\sqrt{x+2}-\sqrt{x+1}+\sqrt{x+3}-\sqrt{x+2}+...+\sqrt{x+2020}-\sqrt{x+2019}=11\)
\(\Leftrightarrow\)\(\sqrt{x+2020}-\sqrt{x+1}=11\)
\(\Leftrightarrow\)\(\sqrt{x+2020}=11+\sqrt{x+1}\)
\(\Leftrightarrow\)\(x+2020=121+22\sqrt{x+1}+x+1\)
\(\Leftrightarrow\)\(22\sqrt{x+1}=1898\)
\(\Leftrightarrow\)\(\sqrt{x+1}=\frac{949}{11}\)
\(\Leftrightarrow\)\(\orbr{\begin{cases}x+1=\frac{900601}{121}\\x+1=\frac{-900601}{121}\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=\frac{900480}{121}\\x=\frac{-900722}{121}\end{cases}}\)
Chúc bạn học tốt ~
PS : sai thì thui nhá