\(P=\dfrac{x-9+9}{\sqrt{x}-3}=\sqrt{x}+3+\dfrac{9}{\sqrt{x}-3}\)

\(=\sqrt{x}-3+\dfrac{9}{\sqrt{x}-3}+6\ge2\cdot\sqrt{9}+6=12\forall x\) thỏa ĐKXĐ

Dấu '=' xảy ra khi \(\left[{}\begin{matrix}\sqrt{x}-3=3\\\sqrt{x}-3=-3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x\in\left\{36;0\right\}\)

Để pt có 2 nghiệm phân biệt thì \(\Delta>0\)

\(\Rightarrow m^2-4.1.\left(-2\right)>0\\ \Rightarrow m^2+8>0\left(luôn.đúng\right)\)

Vậy pt luôn có 2 nghiệm phân biệt

Áp dụng định lý Vi-ét ta có:\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-m\\x_1x_2=-2\end{matrix}\right.\)

\(x^2_1x_2+x_1x^2_2=2021\\ \Leftrightarrow x_1x_2\left(x_1+x_2\right)=2021\\ \Leftrightarrow\left(-m\right)\left(-2\right)=2021\\ \Leftrightarrow2m=2021\\ \Leftrightarrow m=\dfrac{2021}{2}\)

Để pt có 2 nghiệm thì

\(\Delta>0\\ \Rightarrow m^2-4.1.\left(-2\right)>0\\ \Rightarrow m^2+8>0.đúng.\forall.m\) 

Vậy pt luôn có 2 nghiệm phân biệt

Áp dụng đlí Viét ta có

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=\dfrac{-b}{a}=-m\\x_1x_2=\dfrac{c}{a}=-2\end{matrix}\right.\) 

Lại có

\(x_1x_2+x_1x_2=2021\\ \Rightarrow x_1x_2\left(x_1+x_2\right)< 2021\\ \Rightarrow-2\left(-m\right)=2021\Rightarrow2m=2021\\ \Rightarrow m=\dfrac{2021}{2}\)

a) Xét đường tròn (O) đường kính AB có \(\widehat{ANB}=\widehat{AMB}=90^o\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) => AM ⊥ MB; BN ⊥ AN hay AM ⊥ BC; BC ⊥ AC

Xét ΔABC có 2 đường cao AM, BN cắt nhau tại H => H là trực tâm ΔABC => CH ⊥ AB. Mà HK ⊥ AB (gt) => CH ≡ HK hay C, H, K thẳng hàng

b) Gọi giao điểm của NK với đường tròn (O) là D

ΔCNM ~ ΔCBA (c.g.c) => \(\widehat{CNM}=\widehat{ABC}\) (2 góc tương ứng)

ΔANK ~ ΔABC (c.g.c) => \(\widehat{ANK}=\widehat{ABC}\) (2 góc tương ứng)

=> \(\widehat{CNM}=\widehat{ANK}\) => \(90^o-\widehat{CNM}=90^o-\widehat{ANK}\) => \(\widehat{BNM}=\widehat{BND}\)

Xét đường tròn (O) có \(\widehat{BNM}=\widehat{BND}\) => \(\stackrel\frown{BM}=\stackrel\frown{BD}\) => B là điểm chính giữa cung MD

Do B, M cố định => D cố định => NK luôn đi qua điểm D cố định

c) Xét tứ giác HKBM có \(\widehat{HKB}=\widehat{HMB}=90^o\) => Tứ giác HKBM nội tiếp

=> AH.AM = AK.AB

Tương tự ta có BH.BN = BK.AB

=> AH.AM + BH.BN = AK.AB + BK.AB = AB(AK + BK) = AB²

Do AB không đổi nên AH.AM + BH.BN không đổi

d) CMTT câu b ta có \(\widehat{NMH}=\widehat{IMH}\) => MH là phân giác trong tại M của tam giác MNI

=> \(\dfrac{IH}{NH}=\dfrac{IM}{MN}\) (tính chất đường phân giác)

AM ⊥ MB (cmt) => MB là phân giác ngoài tại M của tam giác MNI

=> \(\dfrac{BI}{BN}=\dfrac{IM}{MN}\) (tính chất đường phân giác)

=> \(\dfrac{IH}{NH}=\dfrac{IB}{BN}\left(=\dfrac{IM}{MN}\right)\) => IH.BN = NH.IB

Ta thấy: \(\frac{a^2}{b}-2a+b=\frac{\left(a-b\right)^2}{b}\)

\(\sqrt{a^2-ab+b^2}-\frac{a+b}{2}=\frac{a^2-ab+b^2-\frac{\left(a+b\right)^2}{b}}{\sqrt{a^2-ab+b^2}+\frac{a+b}{2}}=\frac{3\left(a-b\right)^2}{4\sqrt{a^2-ab+b^2}+2a+2b}\)

Bất đẳng thức tương đương với:

\(\frac{\left(a-b\right)^2}{b}+\frac{\left(b-c\right)^2}{c}+\frac{\left(c-a\right)^2}{c}\ge\)

\(\frac{3\left(a-b\right)^2}{4\sqrt{a^2+b^2-2ab}+2\left(a+b\right)}+\frac{3\left(b-c\right)^2}{4\sqrt{b^2+c^2-bc}+2\left(b+c\right)}+\frac{3\left(c-a\right)^2}{b\sqrt{c^2+a^2-ca}+2\left(c+a\right)}\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left[\frac{1}{b}-\frac{3}{4\sqrt{a^2+b^2-2ab}+2\left(a+b\right)}\right]+\left(b-c\right)^2\left[\frac{1}{c}-\frac{3}{4\sqrt{b^2+c^2-2bc}+2\left(b+c\right)}\right]\)

\(+\left(c-a\right)^2\left[\frac{1}{c}-\frac{3}{4\sqrt{c^2+a^2-ca}+2\left(c+a\right)}\right]\ge0\)

Ta đặt:

\(A=\frac{1}{b}-\frac{3}{4\sqrt{a^2+b^2-2ab}+2\left(a+b\right)}\)

\(B=\frac{1}{c}-\frac{3}{4\sqrt{b^2+c^2-2bc}+2\left(b+c\right)}\)

\(C=\frac{1}{c}-\frac{3}{4\sqrt{c^2+a^2-ca}+2\left(c+a\right)}\)

Chứng mình sẽ hoàn tất nếu ta chứng minh được A,B,C\(\ge0\), vậy:

\(A=\frac{1}{b}-\frac{3}{4\sqrt{a^2+b^2-2ab}+2\left(a+b\right)}=\frac{4\sqrt{a^2+b^2-2ab}+2a+b}{4\sqrt{a^2+b^2-2ab}+2\left(a+b\right)}\ge0\)

\(B=\frac{1}{c}-\frac{3}{4\sqrt{b^2+c^2-2bc}+2\left(b+c\right)}=\frac{4\sqrt{b^2+c^2-2bc}+2b+c}{4\sqrt{b^2+c^2-2bc}+2\left(b+c\right)}\ge0\)

\(C=\frac{1}{c}-\frac{3}{4\sqrt{c^2+a^2-ca}+2\left(c+a\right)}=\frac{4\sqrt{c^2+a^2-ca}+2c+a}{4\sqrt{c^2+a^2-ca}+2\left(c+a\right)}\ge0\)

Vậy biểu thức đã được chứng mình.

Bạn ghi lại đề đi bạn

a: Xét ΔEAB và ΔECM có

\(\widehat{EAB}=\widehat{ECM}\)

\(\widehat{AEB}=\widehat{CEM}\)

Do đó: ΔEAB∼ΔECM

Suy ra: EA/EC=EB/EM

hay \(EA\cdot EM=EB\cdot EC\)

b: Xét ΔFMB và ΔFAC có 

\(\widehat{FMB}=\widehat{FAC}\)

\(\widehat{F}\) chung

DO đó: ΔFMB∼ΔFAC

Suy ra: FM/FA=FB/FC

hay \(FM\cdot FC=FA\cdot FB\)