Theo tính chất đường trung tuyến ta có

\(\frac{AG}{AD}=\frac{GB}{BE}=\frac{2}{3}\)

\(\Leftrightarrow\frac{AG}{12}=\frac{GB}{9}=\frac{2}{3}\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}\frac{AG}{12}=\frac{2}{3}\\\frac{GB}{9}=\frac{2}{3}\end{cases}\Rightarrow\orbr{\begin{cases}AG=8\left(cm\right)\\GB=6\left(cm\right)\end{cases}}}\)

Vì \(G\in BE\)

\(\Rightarrow BG+GE=BE\)

\(\Rightarrow GE=9-6=3\left(cm\right)\)

Vậy \(AG=8cm\) và \(GE=3cm\)

Bác lm dài thế >: t/c 3 đg trung tuyến áp dụng luôn cx đc mà.

Theo t/c 3 đường trung tuyến ta có :

\(AG=\frac{2}{3}AD=\frac{2}{3}.12=\frac{24}{3}=8\left(cm\right)\)

\(GE=\frac{1}{3}BE=\frac{1}{3}.9=\frac{9}{3}=3\left(cm\right)\)

hình tự kẻ nghen:33333

a) áp dụng định lý pytago vào tam giác vuông ABC

=> AB^2+AC^2=BC^2

=> BC^2-AB^2=AC^2

=> AC^2=5^2-4^2=25-16=9

=> AC=3 (AC>0)

b) xét tam giác BAE và tam giác BHE có
B1= B2(gt)

BE chung

BAE=BHE(=90 độ)

=> tam giác BAE= tam giác BHE (ch-gnh)

c) ta có AC vuông góc với BK

HK vuông góc với BC

và AC,HK,BE cùng giao nhau tại E

=> BE vuông góc với KC ( 3 đường cao trong tam giác cùng đi qua một điểm )

mvcvvvc

Tự vẽ hình nha !!!

a) Áp dụng định lý Py-ta-go ta có 

AB² + AC² = BC²

=> 8² + 6² = BC²

=> BC = 10 cm

b) Ta có BA = AD

=> AC là trung tuyến của BD

Vì \(AC\Omega BK=\left\{E\right\}\)

=> E là trọng tâm của tam giác BDC

=> \(\frac{EC}{AC}=\frac{2}{3};\frac{AE}{AC}=\frac{1}{3}\)mà AC = 6 cm

=> EC = 4 cm ; AE = 2 cm

c) Xét tam giác BAC và tam giác DAC có

\(\hept{\begin{cases}BA=AD\\\widehat{CAB}=\widehat{CAD=90^{\text{o}}}\\AC\text{ chung}\end{cases}}\Rightarrow\Delta BAC=\Delta DAC\left(c.g.c\right)\)

=> BC = DC (cạnh tương ứng)

P(x) = 5x³ - 3x + 7 - x = 5x³ + ( -3x - x ) + 7 = 5x³ - 4x + 7

Q(x) = -5x³ + 2x - 3 + 2x - x² - 2 = -5x³ + ( 2x + 2x ) - x² + ( -3 - 2 ) = -5x³ + 4x - x² - 5

M(x) = P(x) + Q(x) 

= 5x³ - 4x + 7 + ( -5x³ + 4x - x² - 5 )

= ( 5x³ - 5x³ ) + ( 4x - 4x ) - x² + ( 7 - 5 )

= -x² + 2

N(x) = P(x) - Q(x) 

= ( 5x³ - 4x + 7 ) - ( -5x³ + 4x - x² - 5 )

= 5x³ - 4x + 7 + 5x³ - 4x + x² + 5

= ( 5x³ + 5x³ ) + ( -4x - 4x ) + x² + ( 7 + 5 )

= 10x³ - 8x + x² + 12

M(x) = 0 <=> -x² + 2 = 0

              <=> -x² = -2

             <=> x² = 2

             <=> x = \(\pm\sqrt{2}\)

Vậy nghiệm của M(x) là \(\pm\sqrt{2}\)

a, Gọi giao điểm của BH với AE là I

Xét △ABH vuông tại A và △EBH vuông tại E 

Có: AB = EB (gt)

       BH là cạnh chung

=> △ABH = △EBH (ch-cgv)

Cách 1: (nếu ktra 1 tiết hoặc học kỳ)

=> ∠BAH = ∠EBH (2 góc tương ứng)

Xét △ABI và △EBI

Có: AB = EB (gt)

   ∠ABI = ∠EBI (cmt)

     BI là cạnh chung

=> △ABI = △EBI (c.g.c)

=> AI = EI (2 cạnh tương ứng)

và ∠AIB = ∠EIB (2 góc tương ứng)

Mà ∠AIB + ∠EIB = 180^o (2 góc kề bù)

=> ∠AIB = ∠EIB = 180^o : 2 = 90^o

Mà AI = EI (cmt)

=> BI là đường trung trực AE

=> BH là đường trung trực AE

Cách 2: (chỉ dùng cho học kỳ, không dùng cho 1 tiết, làm cho nhanh, ngắn)

Làm tiếp tục đến => △ABH = △EBH (ch-cgv)

=> AH = HE (2 cạnh tương ứng)

=> H thuộc đường trung trực của AE

Vì AB = BE (gt)

=> B thuộc đường trung trực AE

=> HB là đường trung trực của AE

b, Xét △HEC vuông tại H có: HC > HE (quan hệ giữa đường xiên và đường vuông góc)

=> HC > AH (AH = HE <= △ABH = △EBH)

c, Xét △ABC và △ADC cùng vuông tại A

Có: AC là cạnh chung

       AB = AD (gt)

=> △ABC = △ADC (2cgv)

=> ∠ACB = ∠ACD (2 góc tương ứng)  (1)

Xét △BDE vuông tại E và △BCA vuông tại A

Có: ∠ABC là góc chung

      BE = BA (gt)

=> △BDE = △BCA (cgv-gnk)

=> ∠BDE = ∠BCA (2 góc tương ứng)

Mà ∠ACB = ∠ACD (cmt)   

=> ∠BDE = ∠ACD  (2)

Xét △ADH vuông tại A và △ECH vuông tại E

Có: AH = EH (cmt)

  ∠AHD = ∠EHC (2 góc đối đỉnh)

=> △ADH = △ECH (cgv-gnk)

=> DH = HC (2 cạnh tương ứng)

=> △HCD cân tại H

=> ∠HDC = ∠HCD  (3)

Từ (1), (2), (3) => ∠HDC = ∠BDE 

=> DH là phân giác BDC

d, Sai đề

tự kẻ hình nghen :33333

a) áp dụng định lý pytago vào tam giác vuông ABC

=> AB^2+AC^2=BC^2

=> 9^2+12^2=BC^2

=> 81+144=225= 15^2

=>BC=15

ta có 15>12>9

=>BC>AC>AB

=>BAC>ABC>ACB 

b)xét tam giác BHA và tam giác DHA có

BHA=DHA(=90 độ)

AH chung

BH=DH( H là trung điểm BD)

=> tam giác BHA= tam giác DHA(cgc)

=>AB=AD( hai cạnh tương ứng)

=> tam giác ABD cân A

c) xét tam giác FAE và tam giác CAD có

AD=AE( gt)

AC=AF(gt)

FAE=CAD(= 90 độ-BAD)

=> tam giác FAE= tam giác CAD(cgc)

=> EF=DC( hai cạnh tương ứng)

d) từ tam giác FAE= tam giác CAD=> AFE=ACD( hai góc tương ứng)

vì tam giác FMA vuông tại A ( FAM kề bù với FAC)

=> AFM+FMA= 90 độ

mà AFM=ACD

=> ACD+FMA= 90 độ

=> BC vuông góc với FM

ta có BC vuông góc với FM

BA vuông góc MC

và BM, BC,BA cùng giao nhau tại điểm B

=> MB vuông góc với FC ( 3 đường cao cùng giao nhau tại 1 điểm)