a. Vì \(\left|x+\frac{1}{2}\right|\ge0\forall x;\left|y-\frac{3}{4}\right|\ge0\forall y;\left|z-1\right|\ge0\forall z\)

\(\Rightarrow\left|x+\frac{1}{2}\right|+\left|y-\frac{3}{4}\right|+\left|z-1\right|\ge0\forall x;y;z\)

Dấu "=" xảy ra <=> | x + 1/2 | = 0 ; | y - 3/4 | = 0 ; | z - 1 | = 0

<=> x = - 1/2 ; y = 3/4 ; z = 1

b. Vì \(\left|x-\frac{3}{4}\right|\ge0\forall x;\left|\frac{2}{5}-y\right|\ge0\forall y\left|x-y+z\right|\ge0\forall x;y;z\)

\(\Rightarrow\left|x-\frac{3}{4}\right|+\left|\frac{2}{5}-y\right|+\left|x-y+z\right|\ge0\forall x;y;z\)

Dấu "=" xảy ra <=> | x - 3/4 | = 0 ; | 2/5 - y | = 0 ; | x - y + z | = 0

<=> x = 3/4 ; y = 2/5 ; z = - 7/20

a) Ta có \(\hept{\begin{cases}\left|x+\frac{1}{2}\right|\ge0\forall x\\\left|y-\frac{3}{4}\right|\ge0\forall y\\\left|z-1\right|\ge0\forall z\end{cases}}\Rightarrow\left|x+\frac{1}{2}\right|+\left|y-\frac{3}{4}\right|+\left|z-1\right|\ge0\forall x;y;z\)

Dấu "=" xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}x+\frac{1}{2}=0\\y-\frac{3}{4}=0\\z-1=0\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=-\frac{1}{2}\\y=\frac{3}{4}\\z=1\end{cases}}\)

Vậy x = -1/2 = y = 3/4 ; z = 1 

b) Ta có : \(\hept{\begin{cases}\left|x-\frac{3}{4}\right|\ge0\forall x\\\left|\frac{2}{5}-y\right|\ge0\forall y\\\left|x-y+z\right|\ge0\forall x;y;z\end{cases}}\Rightarrow\left|x-\frac{3}{4}\right|+\left|\frac{2}{5}-y\right|+\left|x-y+z\right|\ge0\forall x;y;z\)

Dấu "=" xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}x-\frac{3}{4}=0\\\frac{2}{5}-y=0\\x-y+z=0\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=\frac{3}{4}\\y=\frac{2}{5}\\\frac{3}{4}-\frac{2}{5}+z=0\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=\frac{3}{4}\\y=\frac{2}{5}\\z=-\frac{7}{20}\end{cases}}\)

Vậy x = 3/4 ; y = 2/5 ; z = -7/20

giả sử : \(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}=\frac{1}{a-b}\Rightarrow\left(b-a\right)\left(a-b\right)=ab\)

 Vế trái có giá trị âm vì là tích của 2 số đối nhau khác 0, vế phải có giá trị dương vì là tích của 2 số dương. Vậy không tồn tại 2 số dương a và b khác nhau mà \(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}=\frac{1}{a-b}\)

Chú ý : Ta cũng chứng minh được rằng không tồn tại hai số a và b khác 0, khác nhau mà \(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}=\frac{1}{a-b}\)

.Thật vậy, nếu \(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}=\frac{1}{a-b}\)thì \(\frac{b-a}{ab}=\frac{1}{a-b}\)

\(\Rightarrow\left(b-a\right)\left(a-b\right)=ab\Rightarrow ab-b^2-a^2+ab=ab\Rightarrow a^2-ab+b^2=0\)

\(\Rightarrow a^2-\frac{ab}{2}-\frac{ab}{2}+\frac{b^2}{4}+\frac{3b^2}{4}=0\Rightarrow a\left(a-\frac{b}{2}\right)-\frac{b}{2}\left(a-\frac{b}{2}\right)+\frac{3b^2}{4}=0\)

\(\Rightarrow\left(a-\frac{b}{2}\right)^2+\frac{3b^2}{4}=0\Rightarrow b=0,a=0\)

Nhưng giá trị này làm cho biểu thức không có nghĩa=> điều giả sử sai=> Không tồn tại 2 số dương a và b khác nhau thỏa mãn \(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}=\frac{1}{a-b}\)

a) \(\left|2x+1\right|+\left|y-1\right|=4\Rightarrow0\le\left|2x+1\right|\le4;0\le\left|y-1\right|\le4\)

Mặt khác \(\left|2x+1\right|\)là số lẻ nên ta có bảng sa0;-1u:

Từ đó suy ra:

Vậy cặp số nguyên(x;y) thỏa mãn là:\(\text{{}\left(0;4\right);\left(0;-2\right);\left(-1;4\right);\left(-1;-2\right);\left(1;2\right);\left(1;0\right);\left(-2;0\right);\left(-2;2\right)\text{]}\)

b) \(\left|3x\right|+\left|y+5\right|=5\Rightarrow0\le\left|3x\right|\le5;0\le\left|y+5\right|\le5\)

Mặt khác |3x|chia hết cho 3 nên ta có bảng sau:

Từ đó suy ra:

Vậy cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn là:\(\text{{}\left(0;0\right);\left(0;-10\right);\left(1;-3\right);\left(1;-7\right);\left(-1;-3\right);\left(-1;-7\right)\)

Ta có :3|1/4 - x²| - 0,25 = |x² - 1/4| + 3/8

=> 3|1/4 - x²| - |x² - 1/4| = 3/8 + 0,25

<=> 3|1/4 - x²| - |1/4 - x²| = 5/8

=> 2|1/4 - x²| = 5/8

=> |1/4 - x²| = 5/16

=> \(\orbr{\begin{cases}\frac{1}{4}-x^2=\frac{5}{16}\\\frac{1}{4}-x^2=-\frac{5}{16}\end{cases}}\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x^2=\frac{-1}{16}\left(\text{loại}\right)\\x^2=\frac{9}{16}\end{cases}}\Rightarrow x^2=\frac{9}{16}\Rightarrow x^2=\left(\frac{3}{4}\right)^2\Rightarrow x=\pm\frac{3}{4}\)

a) \(\frac{2}{7}x-1\frac{2}{5}=\frac{3}{5}\)

=> \(\frac{2}{7}x-\frac{7}{5}=\frac{3}{5}\)

=> \(\frac{2}{7}x=2\)

=> x = 7

b) \(\left|x+\frac{5}{2}\right|=\frac{19}{4}\)

=> \(\orbr{\begin{cases}x+\frac{5}{2}=\frac{19}{4}\\x+\frac{5}{2}=-\frac{19}{4}\end{cases}}\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x=\frac{9}{4}\\x=\frac{-29}{4}\end{cases}}\)

A=2/7x-7/5=3/5                    B=

   2/7x       =3/5+7/5

   2/7x       =2

   x             =7

gọi 3 số cần tìm là x,y,z ; ta có:

\(\hept{\begin{cases}x^2+y^2+z^2=481\\y=\frac{4}{3}x\\y=\frac{3}{4}z\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x^2+y^2+z^2=481\left(1\right)\\x=\frac{3}{4}y\left(2\right)\\z=\frac{4}{3}y\left(3\right)\end{cases}}\)

Thay (2),(3) vào (1) ta được: \(\left(\frac{3}{4}y\right)^2+y^2+\left(\frac{4}{3}y\right)^2=481\)

\(\Rightarrow\frac{9}{16}y^2+y^2+\frac{16}{9}y^2=481\)

\(\Rightarrow\frac{481}{144}y^2=481\Rightarrow y^2=144\Rightarrow y=12\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=\frac{3}{4}y=\frac{3}{4}.12=9\\z=\frac{4}{3}y=\frac{4}{3}.12=16\end{cases}}\)

Vậy 3 số đó là 9,12,16

Gọi số thứ nhất là a; số thứ hai là ; số thứ 3 là c

Ta có a² + b² + c² = 481

Lại có \(b=\frac{4}{3}a=\frac{3}{4}c\)

=> \(b.\frac{1}{12}=\frac{4}{3}a.\frac{1}{12}=\frac{3}{4}c.\frac{1}{12}\)

=> \(\frac{b}{12}=\frac{a}{9}=\frac{c}{16}\)

Đặt \(\frac{b}{12}=\frac{a}{9}=\frac{c}{16}=k\Rightarrow\hept{\begin{cases}b=12k\\a=9k\\c=16k\end{cases}}\)

Khi đó (1) <=> (12k)² + (9k)² + (16k²) = 481

=> 144k² + 81k² + 256k² = 481

=> 481k² = 481

=> k² = 1

=> k = \(\pm1\)

Nếu k = 1 => c = 16 ; b = 9 ; a = 12

Nếu k = 2 => a = -12 ; b = -9 ; c = -16

Vậy các cặp số (a;b;c) thỏa mãn là (12;9;16) ; (-12 ; -9 ; - 16)

Đặt \(\frac{a}{4}=\frac{b}{7}=k\Rightarrow\hept{\begin{cases}a=4k\\b=7k\end{cases}}\)

Khi đó ab = 112

<=> 4k.7k = 112

=> 28k² = 112

=> k² = 4

=> k = \(\pm\)2

Nếu k = 2 => a = 8 ; b = 14

Nếu k =- 2 => a = -8 ; b = - 14

Vậy các cặp (a;b) thỏa mãn là (8;14) ; (-8 ; - 14)

Đặt \(\frac{a}{4}=\frac{b}{7}=k\Rightarrow\hept{\begin{cases}a=4k\\b=7k\end{cases}}\)

ab = 112 <=> 4k.7k = 112

               <=> 28k² = 112

               <=> k² = 4

               <=> k = ±2

Với k = 2 => \(\hept{\begin{cases}a=4\cdot2=8\\b=7\cdot2=14\end{cases}}\)

Với k = -2 => \(\hept{\begin{cases}a=4\cdot\left(-2\right)=-8\\b=7\cdot\left(-2\right)=-14\end{cases}}\)

\(S=2^2+4^2+6^2+...+20^2\)

\(S=\left(2.1\right)^2+\left(2.2\right)^2+\left(2.3\right)^2+...+\left(2.10\right)^2\)

\(S=2^2\left(1^2+2^2+3^2+...+10^2\right)\)

\(S=4.385=1540\)

Ta có S = 2²(1² + 2² + 3² + .... + 10²)

Đặt P = 1² + 2² + 3² + .... + 10²

= 1.1 + 2.2  + 3 .3 + .... + 10.10

= 1.(2 - 1) + 2.(3 - 1) + 3(4 - 1) + .... + 10(11 - 1)

= 1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + 10.11 - (1 + 2 + 3 +... + 10)

= 1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + 10.11 - 55

Đặt Q = 1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + 10.11 

=> 3Q = 1.2.3 + 2.3.3 + 3.4.3 + ... + 10.11.3

=> 3Q = 1.2.3 + 2.3.(4 - 1) + 3.4.(5 - 2) + .... + 10.11(12 - 9)

=> 3Q = 1.2.3 + 2.3.4 - 1.2.3 + 3.4.5 - 2.3.4 + .... + 10.11.12 - 9.10.11

=> 3Q = 10.11.12

=> Q = 440

Khi đó P = 440 - 55 = 385

Khi đó S = 2².385 = 4.385 = 1540