a: ΔABC đều

mà AI là đường trung tuyến

nên AI\(\perp\)BC

ta có: BC\(\perp\)AI

BC\(\perp\)SA(SA\(\perp\)(ABC))

SA,AI cùng thuộc mp(SAI)

Do đó: BC\(\perp\)(SAI)

b: Vì ΔABC đều nên \(S_{ABC}=\dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}\)

\(V_{S.ABCD}=\dfrac{1}{3}\cdot SA\cdot S_{ABC}=\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot2a=\dfrac{a^3\sqrt{3}}{6}\)

a: Ta có: BD\(\perp\)AC(ABCD là hình vuông)

BD\(\perp\)SA(SA\(\perp\)(ABCD))

SA,AC cùng thuộc mp(SAC)

Do đó: BD\(\perp\)(SAC)

b: BC\(\perp\)AB(ABCD là hình vuông)

BC\(\perp\)SA(SA\(\perp\)(ABCD))

SA,AB cùng thuộc mp(SAB)

Do đó: BC\(\perp\)(SAB)

c: DC\(\perp\)AD(ABCD là hình vuông)

DC\(\perp\)SA(SA\(\perp\)(ABCD))

AD,SA cùng thuộc mp(SAD)

Do đó: DC\(\perp\)(SAD)

TK:

Trong hình chóp tam giác đều \(S.ABC\), cạnh đáy \(AB = 3a\) và cạnh bên \(SA = SB = SC = 3a\) đều có độ dài bằng \(3a\), và tam giác \(ABC\) là một tam giác đều.

Để tính góc giữa cạnh bên và mặt đáy \(ABC\), chúng ta cần tính góc giữa cạnh \(SA\) và \(AB\), bởi vì cạnh bên \(SA\) là cạnh của tam giác \(SAB\) và mặt đáy \(ABC\) là mặt phẳng chứa tam giác \(ABC\).

Đối với tam giác đều, các góc trong là góc vuông. Vì vậy, góc giữa cạnh bên và mặt đáy \(ABC\) sẽ là góc giữa cạnh \(SA\) và \(AB\) hoặc \(SB\) và \(AB\).

Vì tam giác \(ABC\) là tam giác đều, nên góc giữa cạnh \(SA\) và \(AB\) hoặc \(SB\) và \(AB\) đều là \(60^\circ\). Do đó, góc giữa cạnh bên và mặt đáy \(ABC\) là \(60^\circ\).

TK:

**1. Hình chóp tứ giác đều S.ABCD:**

Để tính góc giữa cạnh bên và mặt đáy (ABCD) của hình chóp tứ giác đều, ta cần sử dụng kiến thức về hình học không gian.

Với hình chóp tứ giác đều, ta biết rằng cạnh bên vuông góc với mặt đáy và góc giữa cạnh bên và mặt đáy là góc giữa cạnh bên và cạnh của một tam giác vuông cân.

Gọi \(AB = 3a\) là cạnh đáy của hình chóp và \(SA = a\sqrt{6}\) là cạnh bên. Để tính góc giữa cạnh bên và mặt đáy, ta cần tính góc giữa cạnh \(SA\) và cạnh \(AB\).

Ta có:
\[ \cos(\theta) = \frac{AB}{SA} = \frac{3a}{a\sqrt{6}} = \frac{3}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{6}}{2} \]

\( \theta = \arccos\left(\frac{\sqrt{6}}{2}\right) = \frac{\pi}{4} \)

Vậy, góc giữa cạnh bên và mặt đáy (ABCD) là \( \frac{\pi}{4} \) radian.

**2. Hình chóp tam giác đều S.ABC:**

Để tính góc giữa cạnh bên và mặt đáy (ABC) của hình chóp tam giác đều, ta cũng sử dụng kiến thức về hình học không gian.

Trong hình chóp tam giác đều, cạnh bên vuông góc với mặt đáy và góc giữa cạnh bên và mặt đáy chính là góc giữa cạnh bên và cạnh của một tam giác vuông cân.

Gọi \(AB = a\) là cạnh đáy của hình chóp và \(SA = \frac{a\sqrt{3}}{3}\) là cạnh bên. Để tính góc giữa cạnh bên và mặt đáy, ta cần tính góc giữa cạnh \(SA\) và cạnh \(AB\).

Ta có:
\[ \cos(\theta) = \frac{AB}{SA} = \frac{a}{\frac{a\sqrt{3}}{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3} \]

\( \theta = \arccos(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{6} \)

Vậy, góc giữa cạnh bên và mặt đáy (ABC) là \( \frac{\pi}{6} \) radian.

a: ΔACB vuông tại C

=>\(CA^2+CB^2=AB^2\)

=>\(AB=\sqrt{\left(3a\right)^2+\left(4a\right)^2}=5a\)

\(\widehat{SB;\left(ABC\right)}=\widehat{BS;BA}=\widehat{SBA}\)

Xét ΔSBA vuông tại A có \(tanSBA=\dfrac{SA}{AB}=\dfrac{5a}{5a}=1\)

nên \(\widehat{SBA}=45^0\)

=>\(\widehat{SB;\left(ABC\right)}=45^0\)

b: \(\widehat{SC;\left(ABC\right)}=\widehat{CS;CA}=\widehat{SCA}\)

Xét ΔSCA vuông tại A có \(tanSCA=\dfrac{SA}{AC}=\dfrac{5}{3}\)

nên \(\widehat{SCA}\simeq59^0\)

=>\(\widehat{SC;\left(ABC\right)}\simeq59^0\)

c: Ta có: BC\(\perp\)AC

BC\(\perp\)SA

AC,SA cùng thuộc mp(SAC)

Do đó:BC\(\perp\)(SAC)

=>BC\(\perp\)SC tại C

\(\widehat{SB;\left(SAC\right)}=\widehat{SB;SC}=\widehat{BSC}\)

Ta có: ΔSAC vuông tại A

=>\(SA^2+AC^2=SC^2\)

=>\(SC=\sqrt{\left(5a\right)^2+\left(3a\right)^2}=a\sqrt{34}\)

Xét ΔSCB vuông tại C có \(tanBSC=\dfrac{BC}{SC}=\dfrac{4a}{a\sqrt{34}}=\dfrac{4}{\sqrt{34}}\)

nên \(\widehat{BSC}\simeq34^026'\)

=>\(\widehat{SB;\left(SAC\right)}\simeq34^026'\)

a: \(\widehat{SB;\left(ABC\right)}=\widehat{BS;BA}=\widehat{SBA}\)

Xét ΔSAB vuông tại A có \(tanSBA=\dfrac{SA}{AB}=\dfrac{2a\sqrt{3}}{2a}=\sqrt{3}\)

nên \(\widehat{SBA}=60^0\)

=>\(\widehat{SB;\left(ABC\right)}=60^0\)

b: \(\widehat{SC;\left(ABC\right)}=\widehat{CS;CA}=\widehat{SCA}\)

ΔABC vuông tại B

=>\(BA^2+BC^2=AC^2\)

=>\(AC=\sqrt{\left(2a\right)^2+\left(3a\right)^2}=a\sqrt{13}\)

Xét ΔSAC vuông tại A có \(tanSCA=\dfrac{SA}{AC}=\dfrac{2a\sqrt{3}}{a\sqrt{13}}=\sqrt{\dfrac{12}{13}}\)

nên \(\widehat{SCA}\simeq43^051'\)

=>\(\widehat{SC;\left(ABC\right)}\simeq43^051'\)

c: Ta có: CB\(\perp\)AB

CB\(\perp\)SA

AB,SA cùng thuộc mp(SAB)

Do đó: CB\(\perp\)(SAB)

=>CB\(\perp\)SB 

=>ΔSBC vuông tại B

\(\widehat{SC;\left(SAB\right)}=\widehat{SC;SB}=\widehat{BSC}\)

ΔSAB vuông tại A 

=>\(SA^2+AB^2=SB^2\)

=>\(SB=\sqrt{\left(2a\sqrt{3}\right)^2+\left(2a\right)^2}=4a\)

Xét ΔSBC vuông tại B có \(tanBSC=\dfrac{BC}{BS}=\dfrac{3a}{4a}=\dfrac{3}{4}\)

nên \(\widehat{BSC}\simeq37^0\)

=>\(\widehat{SC;\left(SAB\right)}\simeq37^0\)

TK:

**a) Tính góc giữa \( SB \) và \( (ABC) \):**

Góc giữa một đường thẳng và một mặt phẳng chính là góc giữa đường thẳng đó và phần bình phương của đoạn vuông góc từ điểm góc cạnh với mặt phẳng đó đến điểm trên đường thẳng đó.

Trong trường hợp này, ta cần tính góc giữa \( SB \) và mặt phẳng \( ABC \), nghĩa là góc giữa đường thẳng \( SB \) và đoạn vuông góc từ \( B \) đến mặt phẳng \( ABC \).

Gọi \( \alpha \) là góc giữa \( SB \) và \( (ABC) \).

\( \cos(\alpha) = \frac{BC}{SA} = \frac{3a}{2a\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \)

\( \alpha = \arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{\pi}{6} \)

**b) Tính góc giữa \( SC \) và \( (ABC) \):**

Ta cũng sử dụng công thức tương tự như trên:

\( \cos(\beta) = \frac{AB}{SA} = \frac{2a}{2a\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \)

\( \beta = \arccos\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = \frac{\pi}{3} \)

**c) Tính góc giữa \( SC \) và \( (SAB) \):**

Góc này chính là góc giữa đường thẳng \( SC \) và đường thẳng \( SA \). Vì \( SA \) vuông góc với mặt phẳng \( ABC \), nên góc giữa \( SC \) và \( SA \) chính là góc giữa \( SC \) và đường thẳng \( AB \) trong mặt phẳng \( ABC \), tức là góc \( \beta \) đã tính ở câu b).

Vậy:
- a) Góc giữa \( SB \) và \( (ABC) \) là \( \frac{\pi}{6} \) radian.
- b) Góc giữa \( SC \) và \( (ABC) \) là \( \frac{\pi}{3} \) radian.
- c) Góc giữa \( SC \) và \( (SAB) \) cũng là \( \frac{\pi}{3} \) radian.