\(\hept{\begin{cases}4\sqrt{x+1}-xy\sqrt{y^2+4}=0\left(1\right)\\\sqrt{x^2-xy^2+1}+3\sqrt{x-1}=xy^2\left(2\right)\end{cases}}\)

\(ĐK:\hept{\begin{cases}x\ge1\\x^2-xy^2+1\ge0\end{cases}}\), kết hợp với phương trình (1) ta có y > 0

Từ (1) suy ra \(4\sqrt{x+1}=xy\sqrt{y^2+4}\)

\(\Leftrightarrow16\left(x+1\right)=x^2y^2\left(y^2+4\right)\Leftrightarrow\left(y^4+4y^2\right)x^2-16x-16=0\)

Giải phương trình theo ẩn x, ta được: \(x=\frac{4}{y^2}\)hoặc \(x=\frac{-4}{y^2+4}< 0\)(loại)

Với \(x=\frac{4}{y^2}\Leftrightarrow xy^2=4\)thay vào phương trình (2), ta được \(\sqrt{x^2-3}+3\sqrt{x-1}=4\)(*)

\(ĐK:x\ge\sqrt{3}\), ta có: (*)\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x^2-3}-1\right)+3\left(\sqrt{x-1}-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{x^2-4}{\sqrt{x^2-3}+1}+\frac{3\left(x-2\right)}{\sqrt{x-1}+1}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-2\right)\left(\frac{x+2}{\sqrt{x^2-3}+1}+\frac{3}{\sqrt{x-1}+1}\right)=0\)

Dễ thấy \(\frac{x+2}{\sqrt{x^2-3}+1}+\frac{3}{\sqrt{x-1}+1}>0\forall x\ge\sqrt{3}\)nên x - 2 = 0\(\Leftrightarrow x=2\)

Với x = 2, ta có: \(\hept{\begin{cases}y^2=2\\y>0\end{cases}}\Leftrightarrow y=\sqrt{2}\)

Vậy hệ phương trình có 1 nghiệm duy nhất \(\left(x;y\right)=\left(2;\sqrt{2}\right)\)

C1 : *Xét m < 0 thì m + |m| = m - m = 0

                              m|m| = -|m²| < 0

         Nên m + |m| > m|m|

       *Xét m = 0 thì m + |m| = m|m| (=0)

       *Xét 0 < m < 2 thì m + |m| = 2m

                                   m|m| = m² 

Xét hiệu m² - 2m = m(m - 2) < 0 V 0 < m < 2

Nên m + |m| > m|m| 

     *Xét m > 2 thì m + |m| = 2m

                            m|m| = m²

Xét hiệu m² - 2m = m(m - 2) > 0 V m > 2

Nên m + |m| < m|m|

C2, Gọi BCNN(1 ; 2 ; 3 ; ... ; 2002) = a

2002 số liên tiếp cần xét là : a ; a + 1 ; a + 2 ; a + 3 ; ... ; a + 2001

Trong 2002 số này thì  a \(⋮\)1 ; 2 ; 3 ; ... ; 2001

=> a ; a + 1 ; ... ; a + 2001 là hợp số 

=> có 2002 số tự nhiên liên tiếp là hợp số

A B C O E F S T I Q K D N J L P M G R

a) +) Dễ thấy: ^BAD = ^CAO (Cùng phụ ^ABC). Mà ^BAI = ^CAI nên ^OAI = ^DAI 

Suy ra: ^OAI = ^DAO/2 = ^BAI - ^BAD = ^BAC/2 - 90⁰ + ^ABC = ^BAC/2 - (^BAC+^ABC+^ACB)/2 + ^ABC

= (^ABC + ^ACB)/2 = \(\frac{\alpha-\beta}{2}=\frac{\alpha^2-\beta^2}{2\left(\alpha+\beta\right)}=\frac{\alpha^2-\beta^2}{sđ\widebat{BAC}}\) (đpcm).

+) Kẻ đường kính AG của đường tròn (O). Dễ thấy: Tứ giác BICJ nội tiếp, gọi (BICJ) cắt AC tại R khác C.

Do AK=2R nên AK = AG. Ta có: ^ARB = ^ARI + ^BRI = ^IBC + ^ICB = (^ABC+^ACB)/2 = ^ABI + ^IBC = ^ABR

=> \(\Delta\)BAR cân tại A => AB = AR. Kết hợp với AK=AG, ^BAG = ^RAK (cmt) => \(\Delta\)ABG = \(\Delta\)ARK (c.g.c)

=> ^ABG = ^ARK = 90⁰ => ^KRC = ^KDC = 90⁰ => Tứ giác DKCR nội tiếp 

=> AD.AK = AR.AC = AI.AJ => Tứ giác DIJK nội tiếp (đpcm).

b) \(\Delta\)KAG cân tại A có phân giác AI => AI vuông góc KG hay AM vuông góc KG. Mà AM vuông góc GM

Nên K,G,M thẳng hàng => K,M,G,N thẳng hàng => AM vuông góc KN tại M

Ta thấy: M là trung điểm IJ, KM vuông góc IJ tại M nên \(\Delta\)KIJ cân tại K

Xét đường tròn (KIJ): KI = KJ, KN vuông góc IJ => KN là đường kính của (KIJ)

Mà D thuộc đường tròn (KIJ) (cmt) => ^KDN = 90⁰ => ND vuông góc AK tại D => N,L,D thẳng hàng

Xét \(\Delta\)AKN có: AM vuông góc KN, ND vuông góc AK, AM và ND cùng đi qua L

=> L là trực tâm \(\Delta\)AKN => KL vuông góc AN (đpcm).

c) Gọi P là trực tâm của \(\Delta\)AJQ

Do \(\Delta\)KIJ cân tại K => ^KIJ = ^KJI. Có tứ giác DIJK nội tiếp => ^KIJ = ^KDJ => ^KDJ = ^KJI

Từ đó: \(\Delta\)DKJ ~ \(\Delta\)JKA (g.g) => KJ² = KD.KA => KQ² = KD.KA => \(\Delta\)KQD ~ \(\Delta\)KAQ (c.g.c)

Suy ra: ^QDJ = ^KDQ + ^KDJ = ^AQK + ^AJK = 180⁰ - ^QAJ = 180⁰ - ^QPJ => Tứ giác PQDJ nội tiếp

^PDJ = ^PQJ => ^PDK + ^KDJ = ^PDK + ^QJA = ^PQJ => ^PDK = ^PQJ - ^QJA = 90⁰

=> PD vuông góc AD. Mà BC vuông góc AD tại D nên PD trùng BC hay P nằm trên BC (đpcm).

d) Ta thấy: ^ABC > ^ACB (\(\alpha>\beta\)) => ^BAD < ^CAD. Lại có: ^BAI = ^CAI, ^BAD + ^CAD = ^BAI + ^CAI = ^BAC

Suy ra ^BAD < ^BAI => B và I nằm khác khía so với AD => D thuộc [BF]

Hạ IS, IT vuông góc với AC,AB thì F thuộc [DT] => Thứ tự các điểm trên BC là B,D,F,T,C. Do đó: ^IFC = ^DFK < 90⁰

Ta xét thứ tự các điểm trên cạnh AC: 

+) A,S,E,C: Vì IS vuông góc AC, theo thứ tự này thì ^IEC > 90⁰. Cũng dễ có: \(\Delta\)IES = \(\Delta\)IFT (Ch.cgv)

=> ^IES = ^IFT < 90⁰  => ^IFT + ^IEC = 180⁰ => Tứ giác FIEC nội tiếp => ^ECF = ^DIK

Mà ^DIK = ^DJK = ^DAI = \(\frac{\alpha-\beta}{2}\) nên \(\beta=\frac{\alpha-\beta}{2}\Rightarrow\alpha=3\beta\) (*)

+) A,E,S,C: Trong TH này thì ^IEC < 90⁰ => ^IFT + ^IEC < 180⁰ => ^ECF + ^EIF > 180⁰

=> ^ECF > ^DIK hay \(\beta>\frac{\alpha-\beta}{2}\Rightarrow\alpha< 3\beta\)   (**)

Từ (*) và (**) suy ra: \(\alpha\le3\beta\) (đpcm).

I. Nội qui tham gia "Giúp tôi giải toán"

1. Không đưa câu hỏi linh tinh lên diễn đàn, chỉ đưa các bài mà mình không giải được hoặc các câu hỏi hay lên diễn đàn;

2. Không trả lời linh tinh, không phù hợp với nội dung câu hỏi trên diễn đàn.

3. Không "Đúng" vào các câu trả lời linh tinh nhằm gian lận điểm hỏi đáp.

Các bạn vi phạm 3 điều trên sẽ bị giáo viên của Online Math trừ hết điểm hỏi đáp, có thể bị khóa tài khoản hoặc bị cấm vĩnh viễn không đăng nhập vào trang web.

Cậu ơi ko đưa câu hỏi linh tinh nhé!!!

Muốn tìm ny đi chỗ khác... Chúc năm mơi vui vẻ.