a, Lấy I là trung điểm của cạnh BC 

Xét \(\Delta FBC\)vuông tại F có FI là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên FI=BI=CI(1)

Xét \(\Delta EBC\)vuông tại E có EI là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên EI=IB=IC (2)

Từ 1 và 2 suy ra EI=FI=IB=IC

suy ra E,F,B,C cùng thuộc 1 đường tròn tâm I

b, Xét \(\Delta AFC\)và \(\Delta AEB\)

có \(\hept{\begin{cases}\widehat{AFC}=\widehat{BEA}\left(=90^o\right)\\\widehat{A}\left(chung\right)\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\Delta AFC\)đồng dạng với \(\Delta AEB\)(g.g)

\(\Rightarrow\frac{AE}{AF}=\frac{AB}{AC}\)\(\Rightarrow AE.AC=AF.AB\)\(\RightarrowĐPCM\)

Chứng minh: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{9}{x+y+z}\)  (1)

Có: \(\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\ge9\)

\(VT=\frac{x}{x}+\frac{x}{y}+\frac{x}{z}+\frac{y}{x}+\frac{y}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}+\frac{z}{y}+\frac{z}{z}\)

\(=\left(\frac{x}{x}+\frac{y}{y}+\frac{z}{z}\right)+\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)+\left(\frac{x}{z}+\frac{z}{x}\right)+\left(\frac{y}{z}+\frac{z}{y}\right)\)

\(\ge3+2+2+2=9=VP\) (dễ dàng CM được \(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge2\) và cũng tương tự còn lại)

Áp dụng (1) vào bài toán: \(\frac{1}{b}+\frac{1}{b}+\frac{1}{a}\ge\frac{9}{b+b+a}=\frac{9}{2b+a}\)

                                       \(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{b+c+c}=\frac{9}{b+2c}\)

                                        \(\frac{1}{c}+\frac{1}{a}+\frac{1}{a}\ge\frac{9}{c+a+a}=\frac{9}{c+2a}\)

Cộng vế theo vế ta được: \(3\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge9\left(\frac{1}{a+2b}+\frac{1}{b+2c}+\frac{1}{c+2a}\right)\)

                                         \(\Leftrightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge3\left(\frac{1}{a+2b}+\frac{1}{b+2c}+\frac{1}{c+2a}\right)\)

=> ĐPCM

P/s: ko chắc ạ, sai sót xin bỏ qua -.-

Hệ phương trình nào bạn