\(2^m+2^n=2^{m+n}\)--->Chia 2 vế cho 2ⁿ

\(\Rightarrow2^{m-n}+1=2^m\Leftrightarrow2^m-2^{m-n}=1\)

\(\Leftrightarrow2^{m-n}\left(2^n-1\right)=1\)---> Các lũy thừa số mũ tự nhiên của 2 không thể bé hơn 1 nên pt chỉ có nghiệm khi:

\(\hept{\begin{cases}2^{m-n}=1\\2^n-1=1\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}2^{m-n}=2^0\\2^n=2^1\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}m-n=0\\n=1\end{cases}\Rightarrow}m=n=1}\)

\(2^m+2^n=2^{m+n}\Leftrightarrow2^m.2^n-2^m-2^n+1=1\)

\(2^m\left(2^n-1\right)-\left(2^n-1\right)=1\Leftrightarrow\left(2^m-1\right)\left(2^n-1\right)=1\)

Vì \(2^m-1\)và \(2^n-1\)đều lớn hơn 0 nên ta chỉ có một trường hợp \(\hept{\begin{cases}2^m-1=1\\2^n-1=1\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}m=1\\n=1\end{cases}}}\)

A = \(\left(\frac{1}{2^2}-1\right)\left(\frac{1}{3^2}-1\right)\left(\frac{1}{4^2}-1\right)...\left(\frac{1}{100^2}-1\right)\)

= \(\frac{-3}{2^2}.\frac{-8}{3^2}.\frac{-15}{4^2}...\frac{-9999}{100^2}=-\frac{3.8.15...9999}{2.2.3.3.4.4...100.100}=-\frac{1.3.2.4.3.5...99.101}{2.2.3.3.4.4...100.100}\)

= \(-\frac{\left(1.2.3...99\right)\left(3.4.5...101\right)}{\left(2.3.4...100\right)\left(2.3.4...100\right)}=-\frac{1.101}{100.2}=\frac{-101}{200}< \frac{-100}{200}=-\frac{1}{2}\)

=> A < - 1/2

\(A=\left(\frac{1}{2}-1\right)\left(\frac{1}{2}+1\right)\left(\frac{1}{3}-1\right)\left(\frac{1}{3}+1\right)\left(\frac{1}{4}-1\right)\left(\frac{1}{4}+1\right)...\left(\frac{1}{100}-1\right)\left(\frac{1}{100}+1\right)\)

Xét \(B=\left(\frac{1}{2}-1\right)\left(\frac{1}{3}-1\right)\left(\frac{1}{4}-1\right)...\left(\frac{1}{100}-1\right)=\left(\frac{-1}{2}\right)\left(\frac{-2}{3}\right)\left(\frac{-3}{4}\right)...\left(\frac{-99}{100}\right)\)

Có 99 số hạng nhân với nhau nên kết quả cuối sẽ nhận dấu âm--->\(B=\frac{-1}{100}\)

Xét \(C=\left(\frac{1}{2}+1\right)\left(\frac{1}{3}+1\right)\left(\frac{1}{4}+1\right)...\left(\frac{1}{100}+1\right)=\frac{3}{2}.\frac{4}{3}.\frac{5}{4}...\frac{101}{100}=\frac{101}{2}\)

\(A=B.C=\frac{-1}{100}.\frac{101}{2}=\frac{-101}{200}< \frac{-100}{200}=\frac{-1}{2}\)

Giả sử \(a\ne b\). Xét TH \(a< b\)thì 

\(b^c=a^b< b^b\Rightarrow b>c\)

\(c^d=b^c>c^c\Rightarrow c< d\)

\(d^e=c^d< d^d\Rightarrow e< d\)

\(e^a=d^e>e^e\Rightarrow a>e\)

\(e^a=a^b>e^b\Rightarrow a>b\)

Trái với điều \(a< b\)nên \(a=b\)

Từ đó, ta suy ra được \(a=b=c=d=e\)

Cộng ba đẳng thức đã cho ta được \(a\left(a+b+c\right)+b\left(a+b+c\right)+c\left(a+b+c\right)=36\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^2=36\Rightarrow a+b+c=\pm6\)

Từ đó, ta tính được \(a=\mp2;b=\pm3;c=\pm5\)

Ta có ab.bc.ca = 0,36

=> (abc)² = 0,36

=> \(\orbr{\begin{cases}abc=0,6\\abc=-0,6\end{cases}}\)

Lại có ab.bc = 12/25

=> \(\orbr{\begin{cases}b=\frac{12}{25}:0,6\\b=\frac{12}{25}:\left(-0,6\right)\end{cases}}\Rightarrow\orbr{\begin{cases}b=\frac{4}{5}\\b=-\frac{4}{5}\end{cases}}\)

Lại có bc.ca = 3/5

=> \(\orbr{\begin{cases}c=\frac{3}{5}:0,6\\c=\frac{3}{5}:\left(-0,6\right)\end{cases}}\Rightarrow\orbr{\begin{cases}c=1\\c=-1\end{cases}}\)

Lại có ab.ca = 9/20

=> \(\orbr{\begin{cases}a=\frac{9}{20}:0,6\\a=\frac{9}{20}:\left(-0,6\right)\end{cases}}\Rightarrow\orbr{\begin{cases}a=\frac{3}{4}\\a=-\frac{3}{4}\end{cases}}\)

Vì ab > 0 ; bc > 0 ; ca > 0

=> a;b;c cùng dấu

Vậy các cặp a;b;c thỏa mãn là \(\left(\frac{4}{5};1;\frac{3}{4}\right);\left(-\frac{4}{5};-1;-\frac{3}{4}\right)\)

\(ab=\frac{3}{5}\)(1)            \(bc=\frac{4}{5}\Rightarrow b=\frac{4}{5c}\)(2)                \(ca=\frac{3}{4}\Rightarrow c=\frac{3}{4a}\)(3)

Thay (2) vào (1): \(a.\frac{4}{5c}=\frac{3}{5}\Leftrightarrow4a=3c\)

Tiếp tục thay (3) vào biểu thức vừa tính: \(\Rightarrow4a=3.\frac{3}{4a}\Leftrightarrow a^2=\frac{9}{16}\Leftrightarrow a=\pm\frac{3}{4}\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}b=\pm\frac{4}{5}\\c=\pm1\end{cases}}\)

Vậy nhận 2 nghiệm là (3/4;4/5;1), (-3/4;-4/5;-1)

Ta có : 2^x = 4^{y - 1}

=> 2^x = 2^{2y - 2}

=> x = 2y - 2

=> 2y = x + 2 (1)

Lại có 27^y = 3^{x + 8}

=> 3^3y = 3^{x + 8}

=> 3y = x + 8 (2)

Từ (1)(2) => 3y - 2y = x + 8 - x - 2

=> y = 6

=> x = 3.6 - 8 = 10

Vậy x = 6 ; y = 10

Ta có\(\hept{\begin{cases}\frac{x}{5}=\frac{y}{6}\\\frac{y}{8}=\frac{z}{11}\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}\frac{x}{20}=\frac{y}{24}\\\frac{y}{24}=\frac{z}{33}\end{cases}}\Rightarrow\frac{x}{20}=\frac{y}{24}=\frac{z}{33}\)

Lạ có x + y = 44

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có 

\(\frac{x}{20}=\frac{y}{24}=\frac{z}{33}=\frac{x+y}{20+24}=\frac{44}{44}=1\)

=> \(\hept{\begin{cases}x=20\\y=24\\z=33\end{cases}}\)

Khi đó A = x - y - 2z = 20 - 24 - 2.33 = -70

Chúng ta có đồng thời tổng số và tỉ số của x và y ---> Bài toán tổng tỉ cơ bản

\(\hept{\begin{cases}\frac{x}{5}=\frac{y}{6}\Rightarrow x=\frac{5}{6}y\\x+y=44\end{cases}}\)---> Tất nhiên là thế x ở trên vào phía dưới roi:

\(\Rightarrow x+\frac{5}{6}x=44\Leftrightarrow x=24\)--->Từ đây có rất nhiều cách tính y:

\(\Rightarrow y=44-x=20\)---> Ta có tỉ số giữa y và z nên rõ ràng tính z rất dễ:

\(\frac{y}{8}=\frac{z}{11}\Rightarrow z=\frac{11}{8}y=\frac{11}{8}.24=33\)

Giờ thì thế hết x,y,z vào tính A: \(A=x-y-2z=24-20-2.33=-70\)---> Xong !!

\(10^x:5^y=20\Leftrightarrow2^x.5^x:5^y=4.5\Leftrightarrow2^x.5^{x-y}=2^2.5^1\)(1)

Vì 2 và 5 là các số nguyên tố nên (1)\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=2\\x-y=1\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=2\\y=1\end{cases}}}\)

10^x : 5^y = 20

=> 10^x = 20.5^y

=> 10^{x - 2} 10² = 20.5.5^{y - 1}

=> 10^{x - 2} = 5^{y - 1}

=> 5^{x - 2} . 2^{x - 2} = 5^{y - 1}

=> 2^{x - 2} = 5^{y - x + 1}

Khi y - x + 1 = 0

=> 5^{y - x + 1} = 1

=> 2^{x - 2} = 1

=> x - 2 = 0

=> x = 2

Lại có y - x + 1 = 0

=> y = x - 1 = 2 - 1 = 1 (tm) 

Nếu y - x + 1 \(\ne\)0

=> 5^{y - x + 1} = ....5

Mà 2^{x - 2} không tận cùng là 5 với mọi x 

=> loại 

Vậy x = 2 ; y = 1