Ta có :

\(2008^{100}+2008^{99}\)

\(=2008^{99}.\left(2008+1\right)\)

\(=2008^{99}.2009⋮2009\)

=> đpcm

Học tốt

        Bài làm :

Ta có :

\(2008^{100}+2008^{99}=2008^{99}.\left(2008+1\right)=2008^{99}.2009⋮2009\)

=> Điều phải chứng minh

Ta có Đặt B = \(\frac{1999}{1}+\frac{1998}{2}+...+\frac{1}{1999}\)(1999 số hạng)                                 

\(=\left(1+1+1+...+1\right)+\frac{1998}{2}+\frac{1997}{3}+...+\frac{1}{1999}\)(1999 số hạng 1)            

\(=1+\left(\frac{1998}{2}+1\right)+\left(\frac{1997}{3}+1\right)+...+\left(\frac{1}{1999}+1\right)\)(1998 cặp số)

 = \(\frac{2000}{2}+\frac{2000}{3}+...+\frac{2000}{1999}+\frac{2000}{2000}\)

= \(2000\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{1999}+\frac{1}{2000}\right)\)

Khi đó \(\frac{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{2000}}{\frac{1999}{1}+\frac{1998}{2}+...+\frac{1}{1999}}=\frac{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{2000}}{2000\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{2000}\right)}=\frac{1}{2000}\)

A B C C O D E

a, Vì OC là tia phân giác góc AOB nên :

góc AOC = góc COB =\(\frac{\widehat{AOB}}{2}=\frac{140^0}{2}\)= 70độ 

Vì OD là tia đối của tia OA nên :

AOC + góc DOC = 180độ

=> góc DOC = 180độ - 70độ

=> góc DOC = 110độ .

b,Sửa đề : Vẽ tia OE nằm trg góc AOB sao cho góc AOE = 5/7 AOB . Chứng tỏ OB là tia phân giác của góc DOE .

Vì góc AOE = \(\frac{5}{7}\)góc AOB nên :

góc AOE = \(\frac{5}{7}\times140^0\)=100độ

Ta có : góc BOE = góc AOB - góc AOE 

=> góc BOE = 140độ - 100độ

=> góc BOE = 40độ

Ta lại có : góc DOB kề bù với góc AOB nên :

góc DOB + góc AOB = 180độ

=> góc DOB = 180độ - 140độ

=> góc DOB = 40độ

mà góc BOE = 40độ ( theo chứng minh trên )

Suy ra : góc BOE = góc DOB 

Vậy OB là tia phân giác góc DOE .

Học tốt

Ta có :\(\frac{x}{y+z+1}=\frac{y}{x+z+2}=\frac{z}{x+y-3}=x+y+z=\frac{x+y+z}{y+z+1+x+z+2+x+y-3}\)

                                                                                                                 \(=\frac{x+y+z}{2\left(x+y+z\right)}=\frac{1}{2}\)(dãy tỉ số bằng nhau)

=> x + y + z = 1/2

=> \(\hept{\begin{cases}\frac{x}{y+z+1}=\frac{1}{2}\\\frac{y}{x+z+2}=\frac{1}{2}\\\frac{z}{x+y-3}=\frac{1}{2}\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}2x=y+z+1\\2y=x+z+2\\2z=x+y-3\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}3x=x+y+z+1\\3y=x+y+z+2\\3z=x+y+z-3\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}3x=\frac{1}{2}+1\\3y=\frac{1}{2}+2\\3z=\frac{1}{2}-3\end{cases}}\)

=> \(\hept{\begin{cases}3x=\frac{3}{2}\\3y=\frac{5}{2}\\3z=-\frac{5}{2}\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=\frac{1}{2}\\y=\frac{5}{6}\\z=-\frac{5}{6}\end{cases}}\)

Bài của Xyz là trường hợp \(x+y+z\ne0\)

Mình bổ sung 1 trường hợp nữa

Trường hợp 2 : x + y + z = 0

Khi đó \(\frac{x}{y+z+1}=\frac{y}{x+z+2}=\frac{z}{x+y-3}=0\)

=> x = y = z = 0 

\(\text{Gọi số cây 3 khối 6,7,8 trồng được lần lượt là a,b,c}\)

\(\text{Theo bài ra, ta có:}\)

\(\frac{a}{2}=\frac{b}{3}=\frac{c}{5}\text{ và }a+b+c=4500\)

\(\text{ADTCCDTSBN, ta có:}\)

\(\frac{a}{2}=\frac{b}{3}=\frac{c}{5}=\frac{a+b+c}{2+3+5}=\frac{4500}{10}=450\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}\frac{a}{2}=450\\\frac{b}{3}=450\\\frac{c}{5}=450\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a=900\\b=1350\\c=2250\end{cases}}\)

Gọi số học sinh lớp 6,7,8 lần lượt là a, b, c (a, b, c > 0 )

\(\Rightarrow a:b:c=2:3:5\Leftrightarrow\frac{a}{2}=\frac{b}{3}=\frac{c}{5}\)và a + b + c = 4500

Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau

\(\frac{a}{2}=\frac{b}{3}=\frac{c}{5}=\frac{a+b+c}{2+3+5}=\frac{4500}{10}=450\)

\(\hept{\begin{cases}a=2.450=900\\b=3.450=1350\\c=5.450=2250\end{cases}}\)

vậy..

\(y=\left(m-1\right)x\) 

\(M\left(-1;2\right)\Rightarrow x=-1;y=2\) 

\(2=\left(m-1\right)\cdot-1\) 

\(2=-m+1\) 

\(1=-m\)  

\(m=-1\) 

b. 

\(y=\left(m-1\right)x\)  

\(y=\left(-1-1\right)x\)  

\(y=-2x\)

Ta có :

\(\frac{x-3}{97}+\frac{x-27}{73}+\frac{x-67}{33}+\frac{x-73}{27}=4\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{x-3}{97}-1\right)+\left(\frac{x-27}{73}-1\right)+\left(\frac{x-67}{33}-1\right)+\left(\frac{x-73}{27}-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{x-100}{97}+\frac{x-100}{73}+\frac{x-100}{33}+\frac{x-100}{27}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-100\right)\left(\frac{1}{97}+\frac{1}{73}+\frac{1}{33}+\frac{1}{27}\right)=0\)

Vì \(\frac{1}{97}+\frac{1}{73}+\frac{1}{33}+\frac{1}{27}>0\) Nên \(x-100=0\)

\(\Leftrightarrow x=100\)

Vậy \(x=100\)

\(\Leftrightarrow\frac{x-3}{87}+\frac{x-27}{79}+\frac{x-67}{33}+\frac{x-73}{27}-4=0\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{x-3}{97}-1\right)+\left(\frac{x-27}{73}-1\right)+\left(\frac{x-67}{33}-1\right)+\left(\frac{x-73}{27}-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{x-3-97}{97}\right)+\left(\frac{x-27-73}{73}\right)+\left(\frac{x-67-33}{33}\right)+\left(\frac{x-73-27}{27}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{x-100}{97}+\frac{x-100}{73}+\frac{x-100}{33}+\frac{x-100}{27}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-100\right)\left(\frac{1}{97}+\frac{1}{73}+\frac{1}{33}+\frac{1}{27}\right)=0\)

Vì \(\frac{1}{97}+\frac{1}{73}+\frac{1}{33}+\frac{1}{27}\ne0\)

\(\Rightarrow x-100=0\Leftrightarrow x=100\)

Them a/b = c/d nx

Ta có : \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\Rightarrow\frac{a^2}{b^2}=\frac{c^2}{d^2}\) (1)

Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có :

\(\frac{a^2}{b^2}=\frac{c^2}{d^2}=\frac{a^2+c^2}{b^2+d^2}\)  (2) 

\(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{a+c}{b+d}\Rightarrow\left(\frac{a}{b}\right)^2=\left(\frac{a+c}{b+d}\right)^2\) (3)

Từ (1) (2) và (3) \(\Rightarrow\left(\frac{a+c}{b+d}\right)^2=\frac{a^2+c^2}{b^2+d^2}\) ( đpcm )

\(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=k\Rightarrow\hept{\begin{cases}a=bk\\c=dk\end{cases}}\)

Ta có : \(\frac{\left(a+c\right)^2}{a^2-c^2}=\frac{\left(a+c\right)^2}{a^2-ac+ac-c^2}=\frac{\left(a+c\right)^2}{a\left(a-c\right)+c\left(a-c\right)}=\frac{\left(a+c\right)^2}{\left(a+c\right)\left(a-c\right)}=\frac{a+c}{a-c}\)

\(=\frac{bk+dk}{bk-dk}=\frac{k\left(b+d\right)}{k\left(b-d\right)}=\frac{b+d}{b-d}\)(1)

Lại có \(\frac{\left(b+d\right)^2}{b^2-d^2}=\frac{\left(b+d\right)^2}{b^2-bd+bd-d^2}=\frac{\left(b+d\right)^2}{b\left(b-d\right)+d\left(b-d\right)}=\frac{\left(b+d\right)^2}{\left(b-d\right)\left(b+d\right)}=\frac{b+d}{b-d}\left(2\right)\)

Từ (1) (2) => \(\frac{\left(a+c\right)^2}{a^2-c^2}=\frac{\left(b+d\right)^2}{b^2-d^2}\)

Đặt \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=k\Rightarrow\hept{\begin{cases}a=bk\\c=dk\end{cases}}\)

\(\frac{\left(a+c\right)^2}{a^2-c^2}=\frac{\left(a+c\right)\left(a+c\right)}{\left(a-c\right)\left(a+c\right)}=\frac{a+c}{a-c}=\frac{bk+dk}{bk-dk}=\frac{k\left(b+d\right)}{k\left(b-d\right)}=\frac{b+d}{b-d}\)(1)

\(\frac{\left(b+d\right)^2}{b^2-d^2}=\frac{\left(b+d\right)\left(b+d\right)}{\left(b-d\right)\left(b+d\right)}=\frac{b+d}{b-d}\)(2)

Từ (1) và (2) => đpcm