Không

Vì \(x;y;z\inℕ^∗\) và \(x< y< z\)nên \(\hept{\begin{cases}x\ge1\\y\ge2\\z\ge3\end{cases}}\)

\(\Rightarrow0< \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\le\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}< 2\)

\(\Rightarrow0< k< 2\)

Mà k nguyên dương nên k = 1

Với k = 1 thì pt : \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1\) 

*Với x = 1 thì VT > VP với mọi y ; z nguyên dương

*Với x > 3 thì y > 4 và z > 5

\(\Rightarrow VT\le\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}< 1\)

=> pt vô nghiệm

Do đó x = 2 

\(\Rightarrow\frac{1}{2}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow\frac{y+z}{yz}=\frac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow2y+2z=yz\)

\(\Leftrightarrow\left(2y-yz\right)+\left(2z-4\right)=-4\)

\(\Leftrightarrow y\left(2-z\right)+2\left(z-2\right)=-4\)

\(\Leftrightarrow\left(y-2\right)\left(2-z\right)=-4\)

\(\Leftrightarrow\left(y-2\right)\left(z-2\right)=4\)

Từ pt  \(\Rightarrow y\ne2\)

            => y > 2

Vì \(\hept{\begin{cases}y>2\\z\ge3\end{cases}\Rightarrow}\hept{\begin{cases}y-2>0\\z-2>0\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}y-2=1\\z-2=4\end{cases}\left(h\right)\hept{\begin{cases}y-2=2\\z-2=2\end{cases}\left(h\right)\hept{\begin{cases}y-2=4\\z-2=1\end{cases}}}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y=3\\z=6\end{cases}}\)(Do y < z )

Vậy \(\hept{\begin{cases}x=2\\y=3\\z=6\end{cases}}\)

Một đám bèo trôi theo dòng sông từ A đến B hết bao lâu là :

          5+7=12 ( giờ)

     Đáp số : 12 giờ

Từ \(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}=3\Rightarrow a+b+c=3abc\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta được

\(P=\frac{ab^2}{a+b}+\frac{bc^2}{b+c}+\frac{ca^2}{c+a}\ge3\sqrt[3]{\frac{a^3b^3c^3}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}}\)

                                                              \(=\frac{3abc}{\sqrt[3]{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}}\)

                                                               \(\ge\frac{a+b+c}{\frac{a+b+b+c+c+a}{3}}\)

                                                            \(=\frac{a+b+c}{\frac{2\left(a+b+c\right)}{3}}\)

                                                               \(=\frac{3}{2}\)

Dấu "=" xảy ra < = > a = b = c = 1

a) Gọi BH cắt (O) tại S khác B. Qua tính chất quen thuộc của trực tâm  ta thấy H,S đối xứng nhau qua AC.

Do đó ^ASE = ^AHE = 90⁰ (Vì HE // BC, AH vuông góc BC) hay SE vuông góc với AS (1)

Ta có AD là đường kính của (O) => ^ASD chắn nửa (O) => SD vuông góc với AS (2)

Từ (1) và (2) suy ra SE trùng SD hay DE cắt (O) tại S. Như vậy BH,DE cắt nhau trên (O) (đpcm).

b) Tương tự câu a, CH,DF cũng cắt nhau tại 1 điểm trên (O), gọi nó là T

Dễ thấy AH = AS = AT (Tính chất đối xứng). Mà AH,AS,AT lần lượt là khoảng cách từ A đến EF,DE,DF

Nên A chính là tâm bàng tiếp góc D của \(\Delta\)DEF (A nằm ngoài \(\Delta\)DEF) (đpcm).

c) Gọi IH cắt CF tại G. Ta sẽ chỉ ra rằng B,G,E thẳng hàng. Thật vậy:

Ta có FA,FI là phân giác trong và ngoài của ^DFE => FI vuông góc AB => FI // CH

Từ đó \(\Delta\)IGF ~ \(\Delta\)HGC (g.g) => \(\frac{GI}{GH}=\frac{IF}{HC}\)(3)

Mặt khác ^IFE = ^FAH (Cùng phụ ^AFH) = ^HCB. Tương tự ^IEF = ^HBC

Suy ra \(\Delta\)EIF ~ \(\Delta\)BHC (g.g) => \(\frac{IF}{HC}=\frac{IE}{HB}\)(4)

Từ (3) và (4), kết hợp với ^GIE = ^GHB suy ra \(\Delta\)GEI ~ \(\Delta\)GBH (c.g.c)

=> ^IGE = ^HGB. Vì I,G,H thẳng hàng nên kéo theo B,G,E thẳng hàng

Vậy thì BE,CF,IH cắt nhau tại G (đpcm).

Bạn ơi, chứng minh cho mình câu b: AH=AS=AT với được không ạ

I. Nội qui tham gia "Giúp tôi giải toán"

1. Không đưa câu hỏi linh tinh lên diễn đàn, chỉ đưa các bài mà mình không giải được hoặc các câu hỏi hay lên diễn đàn;

2. Không trả lời linh tinh, không phù hợp với nội dung câu hỏi trên diễn đàn.

3. Không "Đúng" vào các câu trả lời linh tinh nhằm gian lận điểm hỏi đáp.

Các bạn vi phạm 3 điều trên sẽ bị giáo viên của Online Math trừ hết điểm hỏi đáp, có thể bị khóa tài khoản hoặc bị cấm vĩnh viễn không đăng nhập vào trang web.