Ta thấy ^AIN chắn nửa đường tròn đường kính AN => ^AIN = 90⁰ => ^AIN = ^NHB => Tứ giác BINH nội tiếp

=> ^IHN = ^IBN. Mà ^IBN = ^NBA = ^NAM nên ^IHN = ^NAM => IH // AM hay IC // AE (1)

Ta có: ^NAK = ^NIK, ^NBH = ^NIH => ^NAK + ^NBH = ^NIK + ^NIH = ^DIC

Lại có: ^NAK = ^NBA, ^NBH = ^NAB. Suy ra: ^NBA + ^NAB = ^DIC = 180⁰ - ^DNC => Tứ giác DICN nội tiếp

=> ^NDC = ^NIC = ^NBH = ^NAB => AB // CD hay CE // AI (2)

Từ (1),(2) => Tứ giác AECI là hình bình hành => CI = EA (đpcm).

Áp dụng bđt \(2\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a+b\right)^2\) đc

\(S=x^2+y^2\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2}=2\)

Dấu "='' khi x = y = 1

Cách 1 :

từ x + y = 2 ta có : y = 2 - x . Do đó : \(S=x^2+\left(2-x\right)^2=2\left(x-1\right)^2+2\ge2\)

Vậy min \(S=2\Leftrightarrow x=y=1\)

Cách 2 : áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki với a = x , c = 1 ; b = y ; d = 1 , ta có :

\(\left(x+y\right)^2\le\left(x^2+y^2\right)\left(1+1\right)\Leftrightarrow4\le2\left(x^2+y^2\right)=2S\Leftrightarrow S\ge2\Rightarrow minS=2\Leftrightarrow x=y=1\)

a) Xét \(\Delta MBD\)và \(\Delta MAC\)

có: \(\widehat{MAC}=\widehat{MBD}\)( cùng chắn cung MC)

\(\widehat{BMD}=\widehat{AMC}\)( cung AB=cung AC vì AB=AC)

=>  \(\Delta MBD\)~ \(\Delta MAC\)

b) Từ câu a)_

=> \(\frac{MB}{MA}=\frac{BD}{AC}\)(1)

\(\frac{MC}{MA}=\frac{MD}{MB}\)(2)

Dễ dàng chứng minh đc:

\(\Delta BDM~\Delta ADC\)

=> \(\frac{MD}{MB}=\frac{DC}{AC}\)(3)

Từ (1), (2), (3)

=> \(\frac{MB}{MA}+\frac{MC}{MA}=\frac{BD}{AC}+\frac{CD}{AC}=\frac{BC}{AC}\)\(=\frac{BC}{AB}\)

c) Lấy điểm E thuộc đoạn