a) Gọi Ax là tia tiếp tuyến chung của (C₁) và (C₂), AF cắt (C₂) tại G khác A.

Ta có: ^GAx = ^GMA, ^FAx = ^FEA => ^GMA = ^FEA => GM // EF. Mà EF là tiếp tuyến tại I của (C₂)

Nên C₂I vuông góc GM. Do GM là dây cung của (C₂) nên I là điểm chính giữa cung nhỏ GM

=> AI là phân giác của ^GAM hay AI là phân giác của ^FAE => \(\frac{AF}{AE}=\frac{IF}{IE}\) 

Tương tự: \(\frac{BF}{BE}=\frac{IF}{IE}\). Từ đó: \(\frac{AF}{AE}=\frac{BF}{BE}\Rightarrow AF.BE=AE.BF\)

Áp dụng ĐL Ptolemy vào tứ giác AEBF nội tiếp có: \(AF.BE+AE.BF=AB.EF\)

Hay \(2AE.BF=2AB.ED\). Suy ra: \(\frac{AE}{AB}=\frac{ED}{BF}\) kết hợp với ^AED = ^ABF (Cùng chắn cung AF)

=> \(\Delta\)ADE ~  \(\Delta\)AFB (c.g.c) => ^DAE = ^FAB. Mà ^IAE = ^IAF (cmt) => ^IAD = ^IAB

=> AI là phân giác ^BAD (1)

Cũng từ \(\Delta\)ADE ~ \(\Delta\)AFB =>\(\frac{AD}{AE}=\frac{AF}{AB}\); ^FAD = ^BAE => \(\Delta\)ADF ~ \(\Delta\)AEB (c.g.c)

=> ^ADF = ^AEB hay ^ADI = ^AEB. Tương tự: ^BDI = ^AEB => ^ADI = ^BDI => DI là phân giác ^ADB (2)

Từ (1);(2) suy ra: Điểm I là tâm nội tiếp \(\Delta\)ABD (đpcm).

b) Gọi My là tia đối của MN ta có ^AMy = ^EMN (3)

Ta thấy: IE là tiếp tuyến chung của (C₂);(C₃) => EM.EA = EN.EB (=EI²) => Tứ giác AMNB nội tiếp

=> ^EMN = ^EBA = ^EFA = ^MGA (Do GM // EF) (4)

Từ (3);(4) suy ra: ^MGA = ^AMy = 1/2.Sđ(AM => My là tia tiếp tuyến của (C₂) hay MN là tiếp tuyến của (C₂)

Hoàn toàn tương tự: MN cũng là tiếp tuyến của (C₃). Từ đó: MN là tiếp tuyến chung của (C₂) và (C₃) (đpcm).

ĐKXĐ: \(x\in R;x\ge\frac{1}{5}\)

Đặt \(\sqrt{5x-1}=a,\sqrt{x}=b\left(a,b\ge0\right)\Rightarrow4x-1=a^2-b^2\)

Khi đó, pt trở thành: \(a=b+a^2-b^2\Leftrightarrow a-b-\left(a-b\right)\left(a+b\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(1-a-b\right)=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}a=b\\a+b=1\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}\sqrt{5x-1}=\sqrt{x}\\\sqrt{5x-1}+\sqrt{x}=1\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=\frac{1}{4}\\\sqrt{5x^2-x}=1-3x\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=\frac{1}{4}\\4x^2-5x+1=0\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=\frac{1}{4}\\\left(x-1\right)\left(4x-1\right)=0\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=\frac{1}{4}\\x=1\end{cases}\left(tm\right)}\)

Vậy tập nghiệm của pt là \(S=\left\{1;\frac{1}{4}\right\}.\)

ĐK:\(x\ge\frac{1}{5}\)

pt <=> \(\sqrt{5x-1}-\sqrt{x}=4x-1\)

<=> \(\frac{5x-1-x}{\sqrt{5x-1}+\sqrt{x}}=4x-1\)

<=> \(\frac{4x-1}{\sqrt{5x-1}+\sqrt{x}}=4x-1\)

<=> \(\orbr{\begin{cases}4x-1=0\left(1\right)\\\frac{1}{\sqrt{5x-1}+\sqrt{x}}=1\left(2\right)\end{cases}}\)

(1) <=> \(x=\frac{1}{4}\)( tm đk)

(2) <=> \(\sqrt{5x-1}+\sqrt{x}=1\)

<=> \(5x-1+x+2\sqrt{x\left(5x-1\right)}=1\)

<=> \(\sqrt{5x^2-x}=1-3x\)

<=> \(\hept{\begin{cases}1-3x\ge0\\5x^2-x=\left(1-3x\right)^2\end{cases}}\)

<=> \(\hept{\begin{cases}x\le\frac{1}{3}\\4x^2-5x+1=0\end{cases}}\)

<=> \(\hept{\begin{cases}x\le\frac{1}{3}\\x=1hoacx=\frac{1}{4}\end{cases}}\)

<=> x=1/4 ( thỏa mãn)

Vậy x=1/4

\(\left(x+\frac{1}{x}\right)^2+\left(y+\frac{1}{y}\right)^2\ge\frac{\left(x+y+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)^2}{2}\ge\frac{\left(x+y+\frac{4}{x+y}\right)^2}{2}=\frac{25}{2}\) (Vì x+y=1)

Vậy Min của bt trên là 25/2. Đạt được khi x=y=1/2.

mấy bạn xem cosi có đúng ko

ai giúp mk cái =((((