P=a²b+ab²-\(\frac{\left(a+b\right)^2-2ab}{6a^2b^2}\)=a²b+ab²-\(\frac{\left(4ab\right)^2-2ab}{6a^2b^2}\)=a²b+ab²-\(\frac{16a^2b^2}{6a^2b^2}\)+\(\frac{2ab}{6a^2b^2}\)

=a²b+ab²-\(\frac{8}{3}\)+\(\frac{1}{3ab}\)

Áp dụng Bất đẳng thức Cauchy cho 3 số dương, ta được:

P==a²b+ab²-\(\frac{8}{3}\)+\(\frac{1}{3ab}\)\(\ge\)3.\(\sqrt[3]{a^3b^3\frac{8}{3}}\)+\(\frac{1}{3ab}\)=\(\frac{6}{\sqrt[3]{3}}\).ab+\(\frac{1}{3ab}\)

Áp dụng Bất đẳng thức Cauchy cho 2 số dương, ta được:

P=\(\frac{6}{\sqrt[3]{3}}\).ab+\(\frac{1}{3ab}\)\(\ge\)2.\(\sqrt{\frac{6}{\sqrt[3]{3}}.ab.\frac{1}{3ab}}\)=\(\frac{2\sqrt{6}}{\sqrt[6]{3}}\)

Vậy MinP=\(\frac{2\sqrt{6}}{\sqrt[6]{3}}\)

\(-\frac{8}{3}\)có phải là số không âm đâu mà áp dụng BĐT Cosi

\(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}>\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{a+b+c}+\frac{c}{a+b+c}=\frac{a+b+c}{a+b+c}=1\)

\(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}< \frac{a+c}{a+b+c}+\frac{b+a}{a+b+c}+\frac{c+b}{a+b+c}=\frac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2\)

\(\Rightarrow1< \frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}< 2\)

1.

\(\Delta'=\left(-m\right)^2-1.\left(2m-3\right)=m^2-2m+3>0\forall m\) 

Với \(\Delta'>0\forall m\)thì  phương trình có hai nghiệm là x₁, x₂ ,theo Vi - et ta có :

x₁ + x₂ = \(-\frac{-m}{1}=m\) ;       x₁x₂ =\(\frac{2m-3}{1}=2m-3\)

Thay x₁ + x₂ = m;   x₁x₂ = 2m - 3 vào bt A = x₁² + x₂² ta có :

A = x₁² + x₂² + 2x₁x₂ - 2x₁x₂ 

A = ( x₁ + x₂ + 2x₁x₂ ) - 2x₁x₂

A = ( x₁ + x₂ )² - 2x₁x₂ 

A = m² - 2.( 2m - 3 )

A = m² - 4m + 6

\(\Delta'=\left(-2\right)^2-1.6=-2< 0\) 

Vì \(\Delta'< 0\Rightarrow\) không có giá trị nào của m để bt A đạt giá trị nhỏ nhất

a,Phần này dễ, bạn tự làm nha!! :))

b, Để phương trình có 2 nghiệm khác 0 thì: \(\Delta^'\ge0\)

Hay: \(\left(-1\right)^2-\left(-3m^2\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow1+3m^2\ge0\)

Mà: \(1+3m^2>0\forall m\)

=> PT luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m

Theo Vi-ét, ta có: \(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=2\\x_1x_2=-3m^2\end{cases}}\)

Ta có: \(\frac{x_1}{x_2}-\frac{x_2}{x_1}=\frac{8}{3}\)

\(\Leftrightarrow\frac{x_1^2-x_2^2}{x_1x_2}=\frac{8}{3}\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(x_1+x_2\right)\left(x_1-x_2\right)}{x_1x_2}=\frac{8}{3}\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(x_1+x_2\right)\sqrt{\left(x_1-x_2\right)^2}}{x_1x_2}=\frac{8}{3}\)  (x₁>x₂)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(x_1+x_2\right)\sqrt{\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2}}{x_1x_2}=\frac{8}{3}\)

\(\Leftrightarrow\frac{2\sqrt{2^2-4\left(-3m^2\right)}}{-3m^2}=\frac{8}{3}\)

\(\Leftrightarrow\frac{2\sqrt{4+12m^2}}{-3m^2}=\frac{8}{3}\)

\(\Leftrightarrow6\sqrt{4+12m^2}=-24m^2\)

Mà: \(6\sqrt{4+12m^2}\ge0\forall m\)

và \(-24m^2\le0\forall m\)

=> Không có giá trị của m thỏa mãn

=.= hk tốt!!

( Có gì sai sót mong bạn bỏ qua ạ ><)

sai từ khúc x1>x2 rồi minh mới giải xong m=+-1

\(P=\frac{x+3\sqrt{x}+2}{x}\)

ĐKXĐ : x > 0

\(\Rightarrow P=1+\frac{3}{\sqrt{x}}+\frac{2}{x}\)

Đặt \(\frac{1}{\sqrt{x}}=t\)

\(\Leftrightarrow P=2t^2+3t+1\)

\(\Leftrightarrow P=2\left(t^2+2.t.\frac{3}{4}+\frac{9}{16}-\frac{1}{16}\right)=2\left(t+\frac{3}{4}\right)^2-\frac{1}{8}\)

\(\Leftrightarrow P=2\left(t+\frac{3}{4}\right)^2+\frac{-1}{8}\)

Có \(2\left(t+\frac{3}{4}\right)^2\ge0\)

\(\Rightarrow P\ge-\frac{1}{8}\)

Vậy MIn P = -1/8 <=> t = -3/4

CTV gì mà ngu vc :)) ĐKXĐ là x dương rồi mà kết quả ra âm => óc lz

a) coi m là tham số ta được:

 Δ^,=(-2)^2-1.m = 4-m 

Pt có no <=> Δ^,>=0 <=> m<=4

b) pt có2nghiệm là 

x1= 2 - căn (4-m)  , x2=  2+ căn (4-m)

thay vào 1/x1 +1/x2 =4 ta được:

1/(2-căn (4-m) +1/(2+căn (4-m) =4

<=>[2+ căn (4-m) +2 -căn (4-m)]  /  [ 4-4-m] =4

<=> 4/ -m=4

<=> m=-1

a) Để phương trình:x²-4x+m có nghiệm thì:\(\Delta\)'=(-2)²-1.m\(\ge\)0<=>4-m\(\ge\)0<=>m\(\le\)4

b)Ta có:\(\frac{1}{x_1}\)+\(\frac{1}{x_2}\)=\(\frac{x_1+x_2}{x_1.x_2}\)=4 (*)

Do x₁,x₂ là 2 nghiệm của phương trình x²-4x+m

Nên theo Định lý Viète, ta được: \(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=4\\x_1.x_x=m\end{cases}}\)

Thay vào đẳng thức (*), ta được::\(\frac{1}{x_1}\)+\(\frac{1}{x_2}\)=\(\frac{4}{m}\)=4<=>m=1

\(P=\left(\frac{x\sqrt{x}-1}{x-\sqrt{x}}-\frac{x\sqrt{x}+1}{x+\sqrt{x}}\right):\left(\frac{2\left(x-2\sqrt{x}+1\right)}{x-1}\right)\)

ĐKXĐ : \(\hept{\begin{cases}x>0\\x\ne1\end{cases}}\)

a, \(P=\left(\frac{\left(x\sqrt{x}-1\right)\left(x+\sqrt{x}\right)-\left(x\sqrt{x}+1\right)\left(x-\sqrt{x}\right)}{\left(x-\sqrt{x}\right)\left(x+\sqrt{x}\right)}\right):\left(\frac{2\left(\sqrt{x}-1\right)^2}{x-1}\right)\)

\(\Leftrightarrow P=\left(\frac{x^2\sqrt{x}+x^2-x-\sqrt{x}-x^2\sqrt{x}+x^2-x+\sqrt{x}}{x\left(x-1\right)}\right):\left(\frac{2\left(\sqrt{x}-1\right)^2}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\right)\)

\(\Leftrightarrow P=\frac{2x\left(x-1\right)\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}{2\left(\sqrt{x}-1\right)^2x\left(x-1\right)}\)

\(\Leftrightarrow P=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}\)

b,\(P=\frac{\sqrt{x}-1+2}{\sqrt{x}-1}\)

Để P thuộc Z

\(\Rightarrow2⋮\sqrt{x}-1\)

\(\Rightarrow\sqrt{x}-1\in\left(1;-1;2;-2\right)\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x}\in\left(2;0;3;-1\right)\)

\(\Leftrightarrow x=0\)(ko t/m đkxđ)

Vậy ko có x nguyên để P nguyên

a) Giả sử đã tìm được điểm D trên cung BC sao cho tứ giác BHCD là hình bình hành. Khi đó: BD//HC; CD//HB vì H là trực tâm tam giác ABC nên CH
và BH
 

BD
và CD
.
Do đó:
ABD = 900 và
ACD = 900 . 
Vậy AD là đường kính của đường tròn tâm O 
Ngược lại nếu D là đầu đường kính AD của đường tròn tâm O thì tứ giác BHCD là hình bình hành.
b) Vì P đối xứng với D qua AB nên
APB =
ADB 
nhưng
ADB =
ACB ,
ADB =
ACB. Do đó:
APB =
ACB 
Mặt khác:
AHB +
ACB = 1800

APB +
AHB = 1800 
Tứ giác APBH nội tiếp được đường tròn nên
PAB =
PHB
Mà
PAB =
DAB do đó:
PHB =
DAB
Chứng minh tương tự ta có:
CHQ =
DAC 
Vậy
PHQ =
PHB +
BHC +
CHQ =
BAC +
BHC = 1800
Ba điểm P; H; Q thẳng hàng.
c) Ta thấy
APQ là tam giác cân đỉnh A 
Có AP = AQ = AD và
PAQ =
2BAC không đổi nên cạnh đáy PQ đạt

900 là gì vậy ạ? Hay là 90°??