cho \(\Delta\)ABC cân tại A đường tròn (O)(O\(\in\)BC).Tiếp xúc với AB;AC trên cạnh AB,AC lần lượt là lấy các điểm P;Q sao cho BP.CQ = \(\dfrac{BC^2}{4}\).CMR:PQ tiếp xúc với đường tròn (O)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
21 tháng 10 2022
Đối các bài bất đẳng thức đối xứng, khi thay vai trò các biến cho nhau thì bđt đã cho không thay đổi. Khi đó thường dấu = bđt xảy ra khi dấu = đầu kiện xảy ra và các biến bằng nhau. Từ đó ta áp dụng cosy hoặc bunhia thì dấu = xảy ra tại điểm các biến bằng nhau.
Đối với bài này mình dự đoán dấu = bđt xảy ra khi a = b = c =1.
Ta có: \(\dfrac{a^2}{a+b^2}=a-\dfrac{ab^2}{a+b^2}\ge a-\dfrac{ab^2}{2\sqrt{ab^2}\left(cosy\right)}=a-\dfrac{\sqrt{ab^2}}{2}\\ \ge a-\dfrac{ab+b}{4}\\ \Rightarrow\dfrac{a^2}{a+b^2}\ge a-\dfrac{ab+b}{4}\)
Tương tự:
\(\dfrac{b^2}{b+c^2}\ge b-\dfrac{bc+c}{4}\)
\(\dfrac{c^2}{c+a^2}\ge c-\dfrac{ca+a}{4}\)
Ta chứng minh:
\(VT\ge2\left(a+b+c-\dfrac{a+b+c+ab+bc+ca}{4}\right)\)
Áp dụng Bunhiacopxki ta có:
\(3\left(ab+bc+ca\right)\le\left(a+b+c\right)^2\\ \le\left(a+b+c\right)\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}=3\left(a+b+c\right)\\ \Rightarrow ab+bc+ca\le a+b+c\)
Bởi vậy
\(VT\ge2\left(a+b+c-\dfrac{a+b+c}{2}\right)=a+b+c\)
Dấu = xảy ra khi \(a=b=c=1\)
HN
0
HN
1
A
2