Ta có : \(a^4+b^4\ge\frac{\left(a^2+b^2\right)\left(a^2+b^2\right)}{2}\ge\frac{2ab\left(a^2+b^2\right)}{2}=ab\left(a^2+b^2\right)\)

\(\Rightarrow a^4+b^4\ge a^3b+ab^3\)

Tương tự \(b^4+c^4\ge b^3c+bc^3\) 

                 \(c^4+a^4\ge a^3c+ac^3\)

Cộng hết vào ta đc

\(2\left(a^4+b^4+c^4\right)\ge a^3b+ab^3+b^3c+bc^3+a^3c+ac^3\)

\(\Leftrightarrow3\left(a^4+b^4+c^4\right)\ge a^4+b^4+c^4+a^3b+ab^3+b^3c+bc^3+a^3c+ac^3\)

\(\Leftrightarrow3\left(a^4+b^4+c^4\right)\ge\left(a+b+c\right)\left(a^3+b^3+c^3\right)\ge\frac{3}{2}\left(a^3+b^3+c^3\right)\)

=> Đpcm

Bài này có lẽ sos là ra ạ! :D Nhưng mà em không chắc chỗ ký hiệu tổng ấy ạ,em không chắc là nên đặt \(\Sigma_{sym}\text{hay là }\Sigma_{cyc}\) trong bài này. Mong chị thông cảm cho ạ!

BĐT \(\Leftrightarrow3\left(a^4+b^4+c^4\right)\ge a^4+b^4+c^4+a^3b+ab^3+b^3c+bc^3+c^3a+ca^3\)

\(\Leftrightarrow2\left(a^4+b^4+c^4\right)-a^3b-ab^3-b^3c-bc^3-c^3a-ca^3\ge0\)

\(\Leftrightarrow\Sigma_{cyc}\left(a^4-a^3b-ab^3+b^4\right)\ge0\)\(\Leftrightarrow\Sigma_{cyc}\left(a^3\left(a-b\right)-b^3\left(a-b\right)\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\Sigma_{cyc}\left(a^2+ab+b^2\right)\left(a-b\right)^2\ge0\) (đúng)

Ta có Q.E.D. Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = ¹/₂

Rút gọn

\(\frac{\left(x\sqrt{y}+y\sqrt{x}\right)\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)}{\sqrt{x}y}=\frac{\sqrt{x}^3\sqrt{y}-xy+yx-\sqrt{x}\sqrt{y}^3}{\sqrt{x}y}=\frac{x}{\sqrt{y}}-y\)

\(\left(\sqrt{15}\right)^2-2.\sqrt{15}.2\sqrt{3}+\left(2\sqrt{3}\right)^2+12\sqrt{5}=0\)

\(=15-12\sqrt{5}+12+12\sqrt{5}\)

\(=27-12\sqrt{5}+12\sqrt{5}\)

\(=27\)

\(A=\)\(\frac{x+2}{x\sqrt{x}-1}+\frac{\sqrt{x}+1}{x+\sqrt{x}+1}+\frac{1}{1-\sqrt{x}}\)

   \(=\frac{x+2}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(x+\sqrt{x}+1\right)}+\) \(\frac{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}{\left(x+\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}\) \(-\frac{\sqrt{x}+x+1}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+x+1\right)}\)

   \(=\frac{x+2+x-1-x-\sqrt{x}-1}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(x+\sqrt{x}+1\right)}\)

    =   \(\frac{x-\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(x+\sqrt{x}+1\right)}\)

\(=\frac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(x+\sqrt{x}+1\right)}\)

\(=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+x+1}\)

học tốt

\(A=\frac{x+2}{x\sqrt{x}-1}+\frac{\sqrt{x}+1}{x+\sqrt{x}+1}+\frac{1}{1-\sqrt{x}}\)

\(A=\frac{x+2}{\sqrt{x}^3-1^3}+\frac{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(x+\sqrt{x}+1\right)}+\frac{-1\left(x+\sqrt{x}+1\right)}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(x+\sqrt{x}+1\right)}\)

\(A=\frac{x+2}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(x+\sqrt{x}+1\right)}+\frac{x-1}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(x+\sqrt{x}+1\right)}+\frac{-x-\sqrt{x}-1}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(x+\sqrt{x}+1\right)}\)

\(A=\frac{x-\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(x+\sqrt{x}+1\right)}\)

\(A=\frac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(x+\sqrt{x}+1\right)}=\frac{\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}+1}\)

Ta có : x + 1 \(\ge\)\(2\sqrt{x}\)nên \(x+\sqrt{x}+1\ge3\sqrt{x}\)

\(\Rightarrow A=\frac{\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}+1}\le\frac{\sqrt{x}}{3\sqrt{x}}=\frac{1}{3}\)

Vậy GTLN của A là \(\frac{1}{3}\)\(\Leftrightarrow x=1\)

trả lời

mik đag ôn thhi

muốn trao đổi bài thì kb qua face nha

hok tốt

kb qua olm trước nha
rồi ib

Có bất đẳng thức xy+zt≥x+zy+txy+zt≥x+zy+t với x,z≥0x,z≥0 ,y,t>0y,t>0

Giả sử cc  lớn nhất trong các số a,b,ca,b,c thì c≥13c≥13

Do a,b,c≥0a,b,c≥0 nên

Ta có P2≥aa+1+bb+1+cc+1≥a+ba+b+2+cc+1P2≥aa+1+bb+1+cc+1≥a+ba+b+2+cc+1

Mà a+ba+b+2+cc+1−12=1−c3−c+c−12(c+1)=(1−c)(3c−1)(3−c)(2c+2)≥0

sai đó nha

...

...