Do ab là số tự nhiên => Ta có:  TH1:a và b là hai số tự nhiên

                                                  TH2:a và b là hai số nguyên âm

Mặt khác a+b là số tự nhiên nên ta lại có: +Với TH1(như trên):a+b=số tự nhiên + số tự nhiên =số tự nhiên(hợp lí)

                                                                   +Với TH2(như trên):a+b=số nguyên âm + số nguyên âm=số tự nhiên(vô lí/loại)

Do a và b đều là số tự nhiên=> aⁿ+bⁿ là số tự nhiên

Vậy aⁿ+bⁿ là số tự nhiên

\(=\left(\frac{x}{2\sqrt{x}}-\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)\left(\frac{x\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}-\frac{x+\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}\right)\)

\(=\left(\frac{x-1}{2\sqrt{x}}\right)\left(\frac{x\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}-\frac{\left(x+\sqrt{x}\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}\right)\)

\(=\left(\frac{x-1}{2\sqrt{x}}\right)\left(\frac{x^2-x\sqrt{x}}{x-1}-\frac{x\sqrt{x}+2x+\sqrt{x}}{x-1}\right)\)

\(=\left(\frac{x-1}{2\sqrt{x}}\right)\left(\frac{x^2-2x\sqrt{x}-2x-\sqrt{x}}{x-1}\right)=\frac{x^2-\sqrt{x}-2x\sqrt{x}-2x}{2\sqrt{x}}=\frac{x\sqrt{x}-1-2x-2\sqrt{x}}{2}\)

\(\left(\frac{\sqrt{x}}{2}-\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)\left(\frac{x\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}-\frac{x+\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}\right)\)

\(=\frac{x-1}{2\sqrt{x}}.\frac{x\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)-\left(x+\sqrt{x}\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}{x-1}\)

\(=\frac{x^2-x\sqrt{x}-\left(x\sqrt{x}+x+x+\sqrt{x}\right)}{2\sqrt{x}}\)

\(=\frac{x^2-x\sqrt{x}-x\sqrt{x}-2x-\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}\)

\(=\frac{x^2-2x\sqrt{x}-2x-\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}\)

ĐK \(x\ne4;x\ne1\)

D= \(\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}-\frac{2x-5\sqrt{x}}{x-\sqrt{x}-2}-\frac{3}{\sqrt{x}-2}\)

 \(=\frac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-2\right)}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}-\frac{2x-5\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x-2}\right)}-\) \(\frac{3\left(\sqrt{x}+1\right)}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}\)

\(=\frac{x-2\sqrt{x}-2x+5\sqrt{x}-3\sqrt{x}-3}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}\)

\(=\frac{-x-3}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}\)

CHÚC BN HỌC TỐT

áp dung bđt Bunhiacooxki:

\(A^2=\left(\sqrt{1+\sqrt{x}}+\sqrt{1+\sqrt{1-x}}\right)^2\le\left(1+1\right)\left(1+\sqrt{x}+1+\sqrt{1-x}\right).\)

\(=2\left(2+\sqrt{x}+\sqrt{1-x}\right)\le2\left(2+\sqrt{\left(1+1\right)\left(x+1-x\right)}\right)=2\left(2+\sqrt{2}\right).\)

\(\Rightarrow A\le\sqrt{2\left(2+\sqrt{2}\right)}\)

Vậy max \(A=\sqrt{2\left(2+\sqrt{2}\right)}\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}.\)

Xem lại đề thử. Sao thấy đề sai sai ta

Không sai nha, mình có 1 số câu dạng ntn thì có 1 câu giải được theo quy đồng đặt nhân tử chung nhưng cái này thì lười quá không quy đồng, xem các bạn có hướng giải nào nhanh thuận tiện cho dạng này không