A= 2b-√(b-2)²/(b-2)

= 2b- |b-2|/(b-2)

= 2b ( xét cả 2 th b\(\ge\)2 và b\(\le\)2)

Ta có:

\(A=3.1.\sqrt{2x-1}+x\sqrt{5-4x^2}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho các cặp số \(1,\sqrt{2x-1}\)và \(x,\sqrt{5-4x^2}\)không âm, ta có:

\(A=3.1.\sqrt{2x-1}+x\sqrt{5-4x^2}\le3.\frac{1+2x-1}{2}+\frac{x^2+5-4x^2}{2}=\frac{-3x^2+6x+5}{2}\)

\(=-\frac{3}{2}.\left(x^2-2x-\frac{5}{3}\right)=-\frac{3}{2}\left(x^2-2x+1\right)+4=-\frac{3}{2}\left(x-1\right)^2+4\le4\)

" =" xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}1=\sqrt{2x-1}\\x=\sqrt{5-4x^2}\\\left(x-1\right)^2=0\end{cases}}\Leftrightarrow x=1\)thỏa mãn

Vậy maxA=4 khi và chỉ khi x=1

1/  Vì tử âm nên mẫu cũng âm => \(4x^2-4x+1< 0\) => \(\left(2x-1\right)^2\)<0

Biểu thức trên không thể xảy ra nên pt vô no

2/ theo đề bài ta suy ra: \(x+\frac{x}{x}=x+1\)

a + b + c= 1 \(\Rightarrow\)1 - a = b + c > 0

Tương tự : 1 - b > 0 ; 1 - c > 0

Mà 1 + a = 1 + ( 1 - b - c ) = ( 1- b ) + ( 1 - c ) \(\ge\)\(2\sqrt{\left(1-b\right)\left(1-c\right)}\)

Tương tự : \(1+b\ge2\sqrt{\left(1-a\right)\left(1-c\right)}\); \(1+c\ge2\sqrt{\left(1-a\right)\left(1-b\right)}\)

\(\Rightarrow\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)\ge8\sqrt{\left(1-a\right)^2\left(1-b\right)^2\left(1-c\right)^2}=8\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)\)

\(\Rightarrow A=\frac{\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)}{\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)}\ge8\)

Dấu " = : xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}\)

Vậy GTNN của A là 8 \(\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}\)

Cách khác:

\(A=\frac{\left[\left(a+b\right)+\left(a+c\right)\right]\left[\left(b+c\right)+\left(b+a\right)\right]\left[\left(c+a\right)+\left(c+b\right)\right]}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\)

Áp dụng BĐT Cô si cho 2 số ta được:

\(A\ge\frac{8\sqrt{\left(a+b\right)^2\left(b+c\right)^2\left(c+a\right)^2}}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}=8\)

"=" <=> a = b = c = 1/3

Kết luận..

2. Chứng minh \(\sqrt{AB^2+CD^2+BC^2+DA^2}=2\sqrt{2}R\)

Vì \(ABDE\)hình thang cân \(\Rightarrow AB=DE;AD=BE\)

Khi đó \(AB^2+CD^2+BC^2+DA^2=DE^2+CD^2+BC^2+BE^2\)

Có \(\widehat{CBE}=\widehat{CDE}\)( 2 góc nội tiếp chắn nửa đường tròn )

\(\Rightarrow\Delta BCE\)vuông tại B và \(\Delta CDE\)vuông tại D

Áp dụng định lý Py - ta - go cho 2 tam giác vuông trên ta được :

\(\hept{\begin{cases}DE^2+CD^2=CE^2=\left(2R\right)^2=4R^2\\BC^2+BE^2=EC^2=\left(2R\right)^2=4R^2\end{cases}\Rightarrow DE^2+CD^2+BC^2+BE^2=4R^2+4R^2}\)

\(\Leftrightarrow DE^2+CD^2+BC^2+BE^2=8R^2\)

\(\Rightarrow\sqrt{DE^2+CD^2+BC^2+BE^2}=\sqrt{8R^2}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{DE^2+CD^2+BC^2+BE^2}=2\sqrt{2}R\)

Hay \(\sqrt{AB^2+CD^2+BC^2+DA^2}=2\sqrt{2}R\)\(\left(dpcm\right)\)

Bạn tự vẽ hình nhá : 

1 . Chứng minh tứ giác ABDE Là hình thang cân

Xét (O) có \(\widehat{CAE}=90^o\)( góc nột tiếp chắn nửa đường tròn )

\(\Rightarrow AE\perp AC\)

Mà \(BD\perp AC\left(gt\right)\Rightarrow AE//BD\)

Xét tứ giác \(ABDE\)có \(AE//BD\Rightarrow\)tứ giác \(ABDE\)là hình thang

Ta có : \(\widehat{CDE}=90^o\)( góc nột tiếp chắn nửa đường tròn )  \(\Rightarrow\Delta CDE\)vuông tại D

Mặt khác \(\widehat{CED}=\widehat{CBD}\)( cùng chắn cung \(\widebat{CD}\))

\(\Rightarrow90^o-\widehat{CED}=90^o-\widehat{CBD}\)

\(\Rightarrow\widehat{DCE}=\widehat{ACD}\Rightarrow\widebat{DE}=\widebat{AB}\Rightarrow sd\widebat{DE}=sd\widebat{AB}\)

Do đó \(DE=AB\Rightarrow DE+AE=AB+AE\Rightarrow AD=BE\)

\(\Rightarrow\widehat{ABD}=\widehat{EDB}\)( 2 góc nội tiếp chắn 2 cung bằng nhau )

Xét hình thang \(ABDE\)có : \(\widehat{ABD}=\widehat{EDB}\Rightarrow\)Hình thang \(ABDE\)là hình thang cân ( dpcm)

\(\sqrt{4x^2+12x+25}+\sqrt{16x^2+48x+54}\)

\(=\sqrt{\left(2x+3\right)^2+16}+\sqrt{\left(4x+6\right)^2+18}\ge\sqrt{16}+\sqrt{18}=4+3\sqrt{2}\)

Vậy Min của BT là \(4+3\sqrt{2}\)\(\Leftrightarrow x=\frac{-3}{2}\)

\(\sqrt{\left(2x\right)^2+2.2x.3+9+16}+\sqrt{4\left[\left(2x\right)^2+2.2x.3+9\right]+18}...\)

\(=\sqrt{\left(2x+3\right)^2+16}+\sqrt{4\left(2x+3\right)^2+18}\)

\(\ge\sqrt{16}+\sqrt{18}=4+3\sqrt{2}.\)(do \(\left(2x+3\right)^2\ge0\))

Dấu '=' xảy ra khi \(\left(2x+3\right)^2=0\Leftrightarrow x=-\frac{3}{2}.\)

Theo BĐT Cô - Si , ta có :

\(a+b\ge2\sqrt{ab}\)

\(b+c\ge2\sqrt{bc}\)

\(c+a\ge2\sqrt{ac}\)

\(\Rightarrow a+b+b+c+c+a\ge2\sqrt{ab}+2\sqrt{bc}+2\sqrt{ac}\)

\(\Rightarrow2\left(a+b+c\right)\ge2\left(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\right)\)

\(\Rightarrow a+b+c\ge\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\left(đpcm\right)\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 số không âm ta có: với a, b, c là các số thực không âm:

\(a+b\ge2\sqrt{ab}\)  Dấu'=' xảy ra khi a=b

\(b+c\ge2\sqrt{bc}\) Dấu '=' xảy ra khi b=c

\(a+c\ge2\sqrt{ac}\)Dấu '=' xảy ra khi a=c

\(\Rightarrow2\left(a+b+c\right)\ge2\sqrt{ab}+2\sqrt{bc}+2\sqrt{ac}\)

\(\Leftrightarrow a+b+c\ge\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}.\)

Dấu '=' xảy ra khi a=b=c

Giả sử cả ba bđt đều đúng 

Ta có a+b<c+da+b<c+d và ab+cd>(a+b)(c+d)ab+cd>(a+b)(c+d)

→ab+cd>(a+b)2≥4ab→ab+cd>(a+b)2≥4ab (BĐT Cauchy)

→cd≥3ab→cd≥3ab  (1)(1)

-------

Ta có (a+b)cd<(c+d)ab(a+b)cd<(c+d)ab và (c+d)(a+b)<ab+cd(c+d)(a+b)<ab+cd

→(a+b)2.cd<(c+d)(a+b)ab<(ab+cd)ab→(a+b)2.cd<(c+d)(a+b)ab<(ab+cd)ab

Mà (a+b)2.cd≥4abcd(a+b)2.cd≥4abcd  (BĐT Cauchy)

→(ab+cd)ab>4abcd→(ab+cd)ab>4abcd

→ab>3cd→ab>3cd (2)(2)

(1);(2)→ab+cd>4(ab+cd)→ab+cd<0:(1);(2)→ab+cd>4(ab+cd)→ab+cd<0:Mâu thuẫn với giả thiết a,b,c,da,b,c,d dương

→đpcmGiả sử cả ba bđt đều đúng 

Ta có a+b<c+da+b<c+d và ab+cd>(a+b)(c+d)ab+cd>(a+b)(c+d)

→ab+cd>(a+b)2≥4ab→ab+cd>(a+b)2≥4ab (BĐT Cauchy)

→cd≥3ab→cd≥3ab  (1)(1)

-------

Ta có (a+b)cd<(c+d)ab(a+b)cd<(c+d)ab và (c+d)(a+b)<ab+cd(c+d)(a+b)<ab+cd

→(a+b)2.cd<(c+d)(a+b)ab<(ab+cd)ab→(a+b)2.cd<(c+d)(a+b)ab<(ab+cd)ab

Mà (a+b)2.cd≥4abcd(a+b)2.cd≥4abcd  (BĐT Cauchy)

→(ab+cd)ab>4abcd→(ab+cd)ab>4abcd

→ab>3cd→ab>3cd (2)(2)

(1);(2)→ab+cd>4(ab+cd)→ab+cd<0:(1);(2)→ab+cd>4(ab+cd)→ab+cd<0:Mâu thuẫn với giả thiết a,b,c,da,b,c,d dương

→đpcm

#)Giải :

Giải sử cả ba BĐT đều đúng 

Ta có : a + b < c + d và ab + cd > ( a + b )( c + d )

=> ab + cd > ( a + b )² ≥ 4ab ( BĐT Cauchy )

=> cd ≥ 3ab (1)

Ta có : ( a + b )cd < ( c + d )ab và ( c + d )( a + b ) < ab + cd 

=> ( a + b )² .cd < ( c + d )( a + b )ab < ( ab + cd )ab

Mà ( a + b )² .cd ≥ 4abcd ( BĐT Cauchy ) 

=> ( ab + cd )ab > 4abcd

=> ab > 3cd (2)

Từ (1) và (2) => ab + cd > 4( ab + cd ) => ab + cd < 0 mâu thuẫn với giả thiết a,b,c,d 

=> Không thể đồng thời xảy ra cả ba BĐT trên ( đpcm )