Từ công thức dưới ta có:

Gọi giao điểm của đt với hai trục tọa độ là A và B

⇒ A(0;m-1) ; B(1−m/m ;0)

⇒OA(0; m-1) ; OB(1−m/1 ;0)

⇒S OAB= 1/2 ∣ 0.0−(m−1)1−m/m ∣=2

⇔(m−1)(1−m) / m =4

⇔−m\(^2\)− 2m−1 = 0

⇔m = −1

Sử dụng công thức (1): Với a, b, c là 3 cạnh đối diện của \(\widehat{A}\), \(\widehat{B}\), \(\widehat{C}\) của tam giác ABC thì \(S_{ABC}=\frac{1}{2}AB\)_. \(AC\sin A\)

Chứng minh: Kẻ \(BH\perp AC\Rightarrow S_{ABC}=\frac{BH.AC}{2}\)

Xét tam giác ABH vuông thì sin \(A=\frac{BH}{AB}\Rightarrow BH=\sin A.AC\)

Từ hai điều trên suy ra: \(S_{ABC}=\frac{AB.AC.\sin A}{2}\left(đpcm\right)\)

Trở lại bài toán:

Sử dụng công thức \(\sin\alpha=\sin\left(180-\alpha\right)\Rightarrow\sin AOD=\sin AOB=\sin BOC=\sin DOC\)

Áp dụng công thức (1):

\(S_{ABCD}=S_{AOB}=S_{AOD}=S_{DOC}=S_{BOC}=\frac{AO.OB.\sin AOB+AO.DO.\sin AOD+DO.CO.\sin DOC+BO.CO.\sin BOC}{2}\)

\(=\frac{\sin AOB\left(AO.OB+AO.OD+DO.OC+BO.OC\right)}{2}=\frac{\sin AOB\left(AO.BD+OC.BD\right)}{2}=\frac{\sin50^o.BD.AC}{2}\)

\(=\frac{20\sin50}{2}=10\sin50\)

bài 2 

Cộng 2 vế của -4038.(1) + (2) ta được

\(a_1^2+a_2^2+...+a_{2019}^2-4038\left(a_1+a_2+...+a_{2019}\right)\le2019^3+1-4028.2019^2\)

\(\Leftrightarrow a_1^2+a_2^2+...+a_{2019}^2-4038a_1-4038a_2-...-4038a_{2019}\)

                                                                       \(\le2019^3+1-2019.2019^2-2019.2019^2\)

\(\Leftrightarrow a_1^2+a_2^2+...+a_{2019}^2-4038a_1-4038a_2-...-4038a_{2019}+2019.2019^2\le1\)

\(\Leftrightarrow\left(a_1^2-4038a_1+2019^2\right)+...+\left(a_{2019}^2-4038a_{2019}+2019^2\right)\le1\)

\(\Leftrightarrow A=\left(a_1-2019\right)^2+\left(a_2-2019\right)^2+...+\left(a_{2019}-2019\right)^2\le1\)

Do \(a_1;a_2;...;a_{2019}\in N\)nên \(A\in N\)

\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}A=0\\A=1\end{cases}}\)

*Nếu A = 0 

Dễ thấy \(A=\left(a_1-2019\right)^2+\left(a_2-2019\right)^2+...+\left(a_{2019}-2019\right)^2\ge0\forall a_1;a_2;...;a_{2019}\)

Nên dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a_1=a_2=a_3=...=a_{2019}=2019\)

*Nếu A = 1 

\(\Leftrightarrow\left(a_1-2019\right)^2+\left(a_2-2019\right)^2+...+\left(a_{2019}-2019\right)^2=1\)(*)

Từ đó dễ dàng nhận ra trong 2019 số \(\left(a_1-2019\right)^2;\left(a_2-2019\right)^2;...;\left(a_{2019}-2019\right)^2\)phải tồn tại 2018 số bằng 0

Hay nói cách khác trong 2019 số \(a_1;a_2;a_3;...;a_{2019}\)phải tồn tại 2018 số có giá trị bằng 2019

Giả sử \(a_1=a_2=...=a_{2018}=2019\)

Khi đó (*)\(\Leftrightarrow\left(a_{2019}-2019\right)^2=1\)

               \(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}a_{2019}=2020\\a_{2019}=2018\end{cases}}\)

Thử lại...(tự thử nhé)

Vậy...

Bài 1 : Vì \(4^{2019}\)có cơ số là 4 , số mũ 2019 là lẻ nên có tận cùng là 4

Để \(4^{2019}+3^n\)có tận cùng là 7 thì \(3^n\)có tận cùng là 3

Mà n là số tự nhiên nên n = 1

Ta có : 

\(A+B=a\sqrt{a}+\sqrt{ab}+b\sqrt{b}+\sqrt{ab}\)

\(=a\sqrt{a}+b\sqrt{b}+2\sqrt{ab}\)

\(=\)\(\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left[\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2-3\sqrt{ab}\right]+2\sqrt{ab}\)

\(A.B=\sqrt{ab}\left(\sqrt{ab+1}\right)+\sqrt{ab}\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left[\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2-3\sqrt{ab}\right]\)

Đặt \(\sqrt{a}+\sqrt{b}=x;\)\(\sqrt{ab}=y\)\(\left(x;y\in Q\right)\)thì :

\(A+B=x\left(x^2-3y\right)+2y\)

\(A.B=y\left(y+1\right)+xy\left(x^2-3y\right)\)

\(\Rightarrow\)Các đa thức này là các số hữa tỉ  \(\left(đpcm\right)\)

Tam giác ABC vuông ở A, ta có:

       AH² = 25.64 = 1600, suy ra AH = 40 (cm).

\(tgB=\frac{AH}{BH}=\frac{40}{25}=1,6\)

=>     \(\widehat{B}\approx58^0\);  \(\widehat{C}=32^0\).

hình đây nha 

Ta có : AH^2 = CH . HB
=>AH=40
Ta lại có:tan B = AH / HB=40/25=1.6
=>B = 58⁰
=>C = 32⁰

Tam giác ABC vuông ở A, ta có:

     \(\cos B=\frac{AB}{BC}\);     \(\cos C=\frac{AC}{BC}\).

Vậy \(\frac{\cos B}{\cos C}=\frac{AB}{BC}:\frac{AC}{BC}=\frac{AB}{BC}.\frac{BC}{AC}=\frac{AB}{AC}\).

Ta có: \(\cos B=\frac{AB}{AC}\)

\(\cos C=\frac{AC}{BC}\)

\(\Rightarrow\frac{\cos B}{\cos C}=\frac{\frac{AB}{BC}}{\frac{AC}{BC}}=\frac{AB}{BC}.\frac{BC}{AC}=\frac{AC}{BC}\left(đpcm\right)\)

\(\Rightarrow\frac{AB}{AC}=\frac{\cos B}{\cos C}\)

Ta có: 

     BC = BO + OC = \(|-1|+|2|=3\)

=> S_ABC = \(\frac{1}{2}BC.AH=\frac{1}{2}.3.2=6\)\(\left(đvdt\right)\)

=1 nha các bạn

\(\sqrt[3]{2+x}+\sqrt[3]{2-x}=1.\)

Đặt \(\hept{\begin{cases}a=\sqrt[3]{2+x}\\b=\sqrt[3]{2-x}\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}a^3=2+x\\b^3=2-x\end{cases}\Rightarrow}a^3+b^3=4\)

Khi đó phương trình đã cho tương đương với:

\(\hept{\begin{cases}a+b=1\\a^3+b^3=4\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)=4\\a+b=1\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}a^2-ab+b^2=4\\a+b=1\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(a+b\right)^2-3ab=4\\a+b=1\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}-3ab=3\\a+b=1\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}ab=-1\\a+b=1\end{cases}.}}\)

Suy ra a, b là nghiệm của phương trình \(X^2-X-1=0\Leftrightarrow\left(X^2-X+\frac{1}{4}\right)=\frac{5}{4}\)

   \(\Leftrightarrow\left(X-\frac{1}{2}\right)^2=\frac{5}{4}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}X-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{5}}{2}\\X-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{5}}{2}\end{cases}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}X=\frac{1-\sqrt{5}}{2}\\X=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\end{cases}.}}\)

Suy ra có 2 trường hợp :

 \(\hept{\begin{cases}a=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\\b=\frac{1-\sqrt{5}}{2}\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}\sqrt[3]{2+x}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\\\sqrt[3]{2-x}=\frac{1-\sqrt{5}}{2}\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}2+x=2+\sqrt{5}\\2-x=2-\sqrt{5}\end{cases}\Leftrightarrow x=\sqrt{5}.}\)

\(\hept{\begin{cases}a=\frac{1-\sqrt{5}}{2}\\b=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\sqrt[3]{2+x}=\frac{1-\sqrt{5}}{2}\\\sqrt[3]{2-x}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\end{cases}\Leftrightarrow x=-\sqrt{5}.}\)

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biêt là \(x_1=\sqrt{5},x_2=-\sqrt{5}.\)