\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\) \(\left(a,b>0\right)\)

\(\Leftrightarrow\frac{a+b}{ab}\ge\frac{4}{a+b}\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\)

\(\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2\ge4ab\)

\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\) (luôn đúng)

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)

\(\Leftrightarrow\frac{a+b}{ab}\ge\frac{4}{a+b}\)

\(\Leftrightarrow\frac{a+b}{ab}-\frac{4}{a+b}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(a+b\right)^2-4ab}{ab\left(a+b\right)}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{a^2+b^2+2ab-4ab}{ab\left(a+b\right)}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{a^2-2ab+b^2}{ab\left(a+b\right)}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(a-b\right)^2}{ab\left(a+b\right)}\ge0\)

Vì a,b>0 nên  \(\frac{\left(a-b\right)^2}{ab\left(a+b\right)}\ge0\)( bất dẳng thức đúng)

\(\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)

Dấu '=' xảy ra khi  a=b

Áp dụng BĐT Cauchy cho 2 số dương:

\(\frac{a^2+3}{\sqrt{a^2+2}}=\sqrt{a^2+2}+\frac{1}{\sqrt{a^2+2}}\ge2\)

Dấu "=" xr khi \(\sqrt{a^2+2}=\frac{1}{\sqrt{a^2+2}}\Leftrightarrow a^2+2=1\left(vn\right)\)=> dấu "=" ko xra

=> \(\frac{a^2+3}{\sqrt{a^2+2}}>2\forall a\)

Chị check thử câu trả lời của em bên h xem sao ạ (nếu ko truy cập được xin ib ạ,em gửi full link): 

Câu hỏi của Đừng gọi tôi là Jung Hae Ri - Toán lớp 9 | Học trực tuyến

chu vi bánh xe là: \(C=2\pi R\approx3,14.65\approx204,1\left(cm\right)\)

=> khi xe đi đc đoạn đg 5km = 500000cm, bánh xe quay đc số vòng là:

              500000 : 204,1 \(\approx\)2450 ( vòng)

Chu vi bánh xe đạp là :

65 . 3,14 = 204,1 ( cm )

Đổi : 204,1 cm = 0,002041 km

Để đi đoạn đường 5km bánh xe lăn được số vòng là :

5 : 0,002041 \(\approx\)2450 ( vòng )

Đ/s :........

Tam giác ABC cân ở A, có góc A = 120^o nên góc ACB  = 30^o

  \(\widehat{AOB}=2\widehat{ACB}\)= 2.30^o = 60^o

Tam giác AOB đều nên OA = AB = 4 (cm)

S_(O) = \(\pi.OA^2=\pi.4^2=16\pi\)

          \(\approx3,14.16\approx50,24\)(cm²)

\(x^2+9\ge9\forall x\)

\(\Rightarrow pt:x^2+9=0\)Vô nghiệm

    \(x^2+9=0\)

\(\Leftrightarrow x^2=-9\)(vô lí)

Vậy \(x=\varnothing\)

\(\sin^4\alpha+\cos^4\alpha+2\sin^2\alpha.\cos^2\alpha=\left(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha\right)^2=1\)

\(\tan^2\alpha\left(2.\cos^2\alpha+\sin^2\alpha-1\right)=\tan^2\alpha\left(\cos^2\alpha+\left(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha\right)-1\right)\)\(=\tan^2\alpha.\cos^2\alpha=\left(\frac{1}{\cos^2\alpha}-1\right)\cos^2\alpha=1-\cos^2\alpha=\sin^2\alpha\)

gọi d=( n+1, 2n+1)

=> n+1 chia hết cho d=> 2n+2 chia hết cho d

=>2n+1 chia hết cho d=> 2n+1 chia hết cho d

=> ( 2n+2)-( 2n+1) chia hết cho d

=> 1 chia hết cho d

=> d= -1 hoặc +1

=> phân số n+1/2n+1 là phân số tối giản

b, giải 

  Gọi d là \(UCLN\left(n+1,n+2\right)\)

\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}n+1⋮d\\n+2⋮d\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\left(n+1\right)-\left(n+2\right)⋮d\)

\(\Rightarrow1⋮d\)

\(\Rightarrow d=1\)

\(\Rightarrow UCLN\left(n+1,n+2\right)=1\)

\(\Rightarrow\frac{n+1}{n+2}\) là phân số tối giản (ĐPCM)

\(ab+b\sqrt{a}+\sqrt{a}+1\)

(đk: \(a\ge0\))

\(=b\sqrt{a}\left(\sqrt{a}+1\right)+\sqrt{a}+1=\left(\sqrt{a}+1\right)\left(b\sqrt{a}+1\right)\)

ĐK: \(x,y\ge0\)

\(\sqrt{x^3}-\sqrt{y^3}+\sqrt{x^2y}-\sqrt{xy^2}=x\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)-y\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)=\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\left(x-y\right)\)

\(=\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)^2\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)\)

\(\left(\sqrt{\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{2}}-\frac{3}{2}\sqrt{2}+\frac{4}{5}\cdot10\sqrt{2}\right):\frac{1}{8}\)

\(=\left(\sqrt{\frac{1}{4}\cdot\frac{1\cdot2}{2\cdot2}}-\frac{3}{2}\sqrt{2}+\frac{4}{5}\cdot10\sqrt{2}\right):\frac{1}{8}\)

\(=\left(\sqrt{\frac{1}{4}\cdot\frac{2}{4}}-\frac{3}{2}\sqrt{2}+8\sqrt{2}\right):\frac{1}{8}\)

\(=\left(\sqrt{\frac{2}{16}}-\frac{3}{2}\sqrt{2}+8\sqrt{2}\right):\frac{1}{8}\)

\(=\left(\frac{1}{4}\sqrt{2}-\frac{3}{2}\sqrt{2}+8\sqrt{2}\right):\frac{1}{8}\)

\(=\sqrt{2}\left(\frac{1}{4}-\frac{3}{2}+8\right):\frac{1}{8}\)

\(=\sqrt{2}\left(\frac{1}{4}-\frac{6}{4}+\frac{32}{4}\right):\frac{1}{8}\)

\(=\sqrt{2}\cdot\frac{27}{4}:\frac{1}{8}\)

\(=\frac{27\sqrt{2}}{4}\cdot\frac{8}{1}\)

\(=2\cdot27\sqrt{2}=54\sqrt{2}\)

\(\Rightarrow\left(\sqrt{\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{2}}-\frac{3}{2}\sqrt{2}+\frac{4}{5}\cdot10\sqrt{2}\right):\frac{1}{8}=54\sqrt{2}\)

\(\left(\frac{1}{4}\sqrt{2}-\frac{3}{2}\sqrt{2}+\frac{4}{5}.10\sqrt{2}\right):\frac{1}{8}\)

=\(\sqrt{2}\)(1/4-3/2+8):1/8

=\(\sqrt{2}\).27/4.8

=54\(\sqrt{2}\)