Trước tiên ta cần chứng minh định lý sin trong tam giác:

Cho tam giác ABC, \(BC=a,AC=b,AB=c\). Khi đó \(\dfrac{a}{sinA}=\dfrac{b}{sinB}=\dfrac{c}{sinC}=2R\) với R là bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Chứng minh:

Kẻ đường kính AD của (O), dễ thấy tam giác ABD vuông tại B \(\Rightarrow sinD=\dfrac{AB}{AD}=\dfrac{c}{2R}\). Lại có \(\widehat{D}=\widehat{C}\) (2 góc nội tiếp cùng chắn cung AB) \(\Rightarrow sinC=\dfrac{c}{2R}\Rightarrow\dfrac{c}{sinC}=2R\)

Tương tự, ta thu được đpcm

Trở lại bài toán chính, áp dụng định lý sin cho tam giác ABC, ta được \(\dfrac{AB}{sinC}=\dfrac{BC}{sinA}\) \(\Rightarrow AB=\dfrac{BCsinC}{sinA}\) \(=\dfrac{15.sin30}{sin40}\)\(\approx11,67\left(cm\right)\)

Vậy \(AB\approx11,67cm\)

Mình tham khảo trên mạng á cũng ko biết đúng sai âu

a, ΔABC nội tiếp đường tròn đường kính AB

⇒ ΔABC vuông tại C (đpcm)

⇒ $A{C}^2=AH.AB=(R-OH).2R=(4-1).2.4=24$

⇔ AC = 2$\sqrt{6}$cm

b, ΔOHC = ΔOHD (ch - cgv)

⇒ HC = HD

⇒ BH là trung tuyến của ΔBCD mà BH cũng là đường cao

⇒ ΔBCD cân tại B (đpcm)

Ta có: AC ⊥ CB ⇒ ΔCAE vuông tại C

CD ⊥ AB ⇒ ΔHBC vuông tại H

mà $\widehat{CBH}$ = $\widehat{EAC}$ (cùng phụ với $\widehat{CAB}$)

⇒ ΔCAE ~ ΔHBC (g.g)

⇒ $\frac{AE}{BC}$ = $\frac{EC}{HC}$ 

mà ΔBCD cân tại B, BH là trung tuyến

⇒ BC = BD và HC = DH

⇒ $\frac{AE}{BD}$ = $\frac{EC}{DH}$ (đpcm)

Ứng dụng tỉ số lượng giác của 2 góc phụ nhau để làm bài này, nhìn lại hình như bị ghi sai đề, có lẽ cos²20⁰ mới đúng