ĐK: \(0\le x\le1\)

\(A=\frac{1}{2+\sqrt{x-x^2}}\le\frac{1}{2}\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(\orbr{\begin{cases}x=0\\x=1\end{cases}}\)

\(A=\frac{1}{2+\sqrt{x-x^2}}=\frac{1}{2+\sqrt{-\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{4}}}\ge\frac{1}{2+\sqrt{\frac{1}{4}}}=\frac{2}{5}\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(x=\frac{1}{2}\)

Có \(2x-2\sqrt{3x+1}-1\)

    \(=\left(2x+\frac{2}{3}\right)-2\sqrt{\left(2x+\frac{2}{3}\right).\frac{3}{2}}+\frac{3}{2}-\frac{19}{6}\)

     \(=\left(\sqrt{2x+\frac{2}{3}}-\sqrt{\frac{3}{2}}\right)^2-\frac{19}{6}\ge-\frac{19}{6}\forall x\ge-\frac{1}{3}\)

Dấu " =" xảy ra\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\sqrt{2x+\frac{2}{3}}=\sqrt{\frac{3}{2}}\\x\ge-\frac{1}{3}\end{cases}}\Leftrightarrow x=\frac{5}{12}\)

    Vậy....

a ) \(\sqrt{2}+\sqrt{3}\) và \(\sqrt{10}\)

Ta có : \(\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)^2=2+3+2\sqrt{6}=5+2\sqrt{6}\)\(=5+\sqrt{24}\)

            \(\left(\sqrt{10}\right)^2=10=5+5=5+\sqrt{25}\)

Vì \(\sqrt{24}< \sqrt{25}\Rightarrow5+\sqrt{24}< 5+\sqrt{25}\)hay \(\sqrt{2}+\sqrt{3}< \sqrt{10}\)

b ) \(\sqrt{2003}+\sqrt{2005}\) và \(2\sqrt{2004}\)

Ta có : \(\left(\sqrt{2003}+\sqrt{2005}\right)^2=2003+2005+2\sqrt{2003.2005}\)

                                                                \(=4008+2\sqrt{\left(2004-1\right)\left(2004+1\right)}\)

                                                                \(=4008+2\sqrt{2004^2-1}\)

            \(\left(2\sqrt{2004}\right)^2=4.2004=2.2004+2\sqrt{2004^2}\)\(=4008+2\sqrt{2004^2}\)

Vì \(4008+2\sqrt{2004^2-1}< 4008+2\sqrt{2004^2}\)=> \(\sqrt{2003}+\sqrt{2005}< 2\sqrt{2004}\)

c ) \(\sqrt{5\sqrt{3}}\)và \(\sqrt{3\sqrt{5}}\)

Ta có : \(\sqrt{5\sqrt{3}}=\sqrt{\sqrt{5^2.3}}=\sqrt{\sqrt{75}}\)

           \(\sqrt{3\sqrt{5}}=\sqrt{\sqrt{3^2.5}}=\sqrt{\sqrt{45}}\)

Vì 75 > 45 => \(\sqrt{75}>\sqrt{45}\)hay \(\sqrt{5\sqrt{3}}>\sqrt{3\sqrt{5}}\)

gợi ý nhé 

a (=)  2x.( 4x²+1) = (3x+2). căn(3x+1)          ( x>=-1/3)

 đặt 2x =a 

     căn (3x+1) = b    (b>=0)

  ta có hpt sau            a.(a² +1)=b.(b²+1)    (1)

                                  3a-2b²= -2                (2)

   giải (1)   (=) a³ + a = b³ + b

                (=) (a-b).(a²+ab+b²+1) = 0 =) a=b  ( vì a²+ab+b²+1>0)

phần còn lại tự giải nhé

b (=)   (x+1).(x²+2x+2)=(x+2) . căn(x+1)         (x>=-1)   

(=) căn (x+1) . [căn(x+1) . (x²+2x+2) -x-2] = 0

=) x=-1

hay  căn(x+1) . (x²+2x+2) -x-2=0 

     cách 1 giải phổ thông ( chuyển vế rồi bình phương)

  cách 2 đặt ẩn phụ và lập hệ

 đặt căn(x+1)=a (a>=0) 

  =) a.[x(a²+1)+2] = a²+1   và a² - x =1

tự giải nhé

c,tạm thời chưa nghĩ ra 

a.Tam giác ADC vuông tại D :

\(AC=\sqrt{AD^2+CD^2}=\sqrt{8^2+15^2}=17\)(cm)

b.Xét tam giác ACD vuông tại D

Theo hệ thức lượng ta có:

DM.AC=AD.DC

DM=\(\frac{8\cdot15}{17}=\frac{120}{17}\)(cm)

c.Ta thấy tam giác ANM ~ tam giác INB

mà tam giác INB ~  tam giác ICM

vậy tam giác ANM ~ tam giác ICM

từ đó ta có được 

MN.MI=CM.AM

Mặt khác áp dụng htl trong tam giác ADC ta có: CM.AM=DI²

Vậy MN.MI=DI²

@.@