a.Tam giác ADC vuông tại D :

\(AC=\sqrt{AD^2+CD^2}=\sqrt{8^2+15^2}=17\)(cm)

b.Xét tam giác ACD vuông tại D

Theo hệ thức lượng ta có:

DM.AC=AD.DC

DM=\(\frac{8\cdot15}{17}=\frac{120}{17}\)(cm)

c.Ta thấy tam giác ANM ~ tam giác INB

mà tam giác INB ~  tam giác ICM

vậy tam giác ANM ~ tam giác ICM

từ đó ta có được 

MN.MI=CM.AM

Mặt khác áp dụng htl trong tam giác ADC ta có: CM.AM=DI²

Vậy MN.MI=DI²

@.@

\(a,\)Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC ta có 

\(BC^2=AB^2+AC^2\Rightarrow BC^2=3^2+4^2\Rightarrow BC=\sqrt{9+16}\)

\(\Rightarrow BC=5cm\)

\(AB^2=BH.BC\Rightarrow BH=\frac{AB^2}{BC}\Rightarrow BH=\frac{3^2}{5}=\frac{9}{5}cm\)

\(AC^2=CH.BC\Rightarrow CH=\frac{AC^2}{BC}\Rightarrow CH=\frac{4^2}{5}=\frac{16}{5}cm\)

\(AH^2=\frac{9}{5}.\frac{16}{5}\Rightarrow AH^2=\frac{144}{25}\Rightarrow AH=\sqrt{\frac{144}{25}}=\frac{12}{5}cm\)

\(b,\)

\(BC=BH+CH\Rightarrow BC=9+16\Rightarrow BC=25cm\)

\(AB^2=BH.BC\Rightarrow AB^2=9.25\Rightarrow AB=\sqrt{225}=15cm\)

\(AC^2=CH.BC\Rightarrow AC^2=16.25\Rightarrow AC=\sqrt{400}=20cm\)

\(AH^2=BH.CH\Rightarrow AH^2=9.16\Rightarrow AH=\sqrt{144}=12cm\)

Giả sử √7 là số hữu tỉ 
=> √7 = a/b (a,b ∈ Z ; b ≠ 0) 
Không mất tính tổng quát giả sử (a;b) = 1 
=> 7 = a²/b² 
<=> a² = b7² 
=> a² ⋮ 7 
7 nguyên tố 
=> a ⋮ 7 
=> a² ⋮ 49 
=> 7b² ⋮ 49
=> b² ⋮ 7
=> b ⋮ 7 
=> (a;b) ≠ 1 (trái với giả sử) 
=> Giả sử sai 
=> √7 là số vô tỉ

Nguồn : https://lazi.vn/edu/exercise/chung-minh-7-la-so-vo-ti

Tham khảo lời giải tại :

Chứng minh √7 là số vô tỉ - Toán học Lớp 9 - Bài tập Toán học Lớp 9 - Giải bài tập Toán học Lớp 9 | Lazi.vn - Cộng đồng Tri thức & Giáo dục

< https://lazi.vn/edu/exercise/chung-minh-7-la-so-vo-ti >

_Tần vũ_

\(\frac{4\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}+1\right)^2}=\frac{1}{2}\)

\(\Rightarrow4\sqrt{x}.2=1\left(\sqrt{x}+1\right)^2\)

\(\Rightarrow8\sqrt{x}=x+2\sqrt{x}+1\)

\(\Rightarrow x-6\sqrt{x}+1=0\)

\(a=1;b=-6;c=1;b'=-3\)

\(\Delta'=\left(-3\right)^2-1.1=9-1=8>0\)

Phương trình có 2 nghiệp phân biệt 

\(x_1=\frac{-b'+\sqrt{\Delta'}}{a}=\frac{-\left(-3\right)+\sqrt{8}}{1}=3+2\sqrt{2}\)

\(x_2=\frac{-b'-\sqrt{\Delta'}}{a}=\frac{-\left(-3\right)-\sqrt{8}}{1}=3-2\sqrt{2}\)

\(a\hept{\begin{cases}x-3y=3\\x+3y=0\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}2x=3\\x+3y=0\end{cases}}}\)

Pt có duy nhất 1 nghiệm

\(b\hept{\begin{cases}3x-2y=4\\4y=-8\end{cases}}\)

hpt chỉ có 1 nghiệm duy nhất

do pt 4y=-8 chỉ có duy nhất 1 nghiệm mà pt 3x-2y=4 thể hiện mqh giữa x và y khi y chỉ đạt 1 nghiệm thì  x cũng như vậy tức hpt chỉ có 1 nghiệm 

Câu trên gt cx như vậy

Ta có: \(\sqrt{11+6\sqrt{2}}-\sqrt{11-6\sqrt{2}}=\sqrt{\left(3+\sqrt{2}\right)^2}-\sqrt{\left(3-\sqrt{2}\right)^2}\)

                                                                                  \(=\left|3+\sqrt{2}\right|-\left|3-\sqrt{2}\right|\)

                                                                                    \(=3+\sqrt{2}-3+\sqrt{2}\)

                                                                                    \(=2\sqrt{2}\)

\(\sqrt{11+6\sqrt{2}}-\sqrt{11-6\sqrt{2}}\)

\(=\sqrt{9+2.3\sqrt{2}+2}-\sqrt{9-2.3\sqrt{2}+2}\)

\(=3+\sqrt{2}-3+\sqrt{2}\)

\(=2\sqrt{2}\)