Vậy \(x^5+x+1\)chia cho \(x^3-x\) dư \(2x+1\)

Ta có: \(x^3-x=x\left(x^2-1\right)=\left(x-1\right)x\left(x+1\right)\)

Để ý rằng đa thức chia là đa thức bậc 3 nên đa thức dư có bậc cao nhất là 2. Giả sử đó là ax² + bx + c. 

Khi đó ta có \(x^5+x+1=\left(x-1\right)x\left(x+1\right).Q\left(x\right)+ax^2+bx+c\)

Do đẳng thức trên đúng với mọi x nên

Với x = 1 thì \(a+b+c=3\)(1)

Với x = 0 thì \(c=1\)

Với x = -1 thì -1 = a - b + c (2)

Thay c = 1 vào (1) và (2) ta được \(\hept{\begin{cases}a+b+1=3\\a-b+1=-1\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a+b=2\\a-b=-2\end{cases}}\Leftrightarrow2a=0\Leftrightarrow a=0\Rightarrow b=2\)

Vậy đa thức dư là \(0x^2+2x+1=2x+1\)

\(\frac{\sqrt{x^2-2x+1}+\sqrt{x^2}+1}{x-2}\)

\(=\frac{\sqrt{\left(x-1\right)^2}+\left|x\right|+1}{x-2}\)

\(=\frac{\left|x-1\right|+\left|x\right|+1}{x-2}\)

P/S: Ko chắc

làm tiếp đc k

-1; -6

b) ĐK: \(x^2+7x+7\ge0\) (đk xấu quá em ko giải đc;v)

PT \(\Leftrightarrow3x^2+21x+18+2\left(\sqrt{x^2+7x+7}-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow3\left(x+1\right)\left(x+6\right)+2\left(\frac{x^2+7x+6}{\sqrt{x^2+7x+7}+1}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow3\left(x+1\right)\left(x+6\right)+\frac{2\left(x+1\right)\left(x+6\right)}{\sqrt{x^2+7x+7}+1}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)\left(x+6\right)\left[3+\frac{1}{\sqrt{x^2+7x+7}+1}\right]=0\)

Hiển nhiên cái ngoặc vuông > 0 nên vô nghiệm suy ra x = -1 (TM) hoặc x = -6 (TM)

Vậy....

P/s: Cũng may nghiệm đẹp chứ chứ nghiệm xấu thì tiêu rồi:(

chết, đánh nhầm dòng tương đương cuối:

\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)\left(x+6\right)\left[3+\frac{2}{\sqrt{x^2+7x+7}+1}\right]=0\)