Bạn ơi hình như đề sai ạ

Bạn thử một cặp x,y vào sẽ thấy ạ

Theo mk nghĩ đề đúng thì chắc cách giải như zầy

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x+\sqrt{1+x^2}=\frac{1}{y+\sqrt{1+y^2}}\\y+\sqrt{1+y^2}=\frac{1}{x+\sqrt{1+x^2}}\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x+\sqrt{1+x^2}-\sqrt{1+y^2}+y=0\\y+\sqrt{1+y^2}-\sqrt{1+x^2}+x=0\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow2x+2y=0\Leftrightarrow x+y=0\)

Tứ giác BKHC có 2 góc BKC và BHC cùng nhìn cạnh BC bằng nhau (do cùng bằng 90)

=> BKHC nội tiếp tâm O là trung điểm BC

lớn hơn hoặc bằng nha

\(a^2+b^2+c^2+d^2\ge\frac{\left(a+b+c+d\right)^2}{4}=1\)

\(a^2+\frac{1}{4}+b^2+\frac{1}{4}+c^2+\frac{1}{4}+d^2+\frac{1}{4}-1\ge a+b+c+d-1=1\)

Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=d=1/2

Đặt \(4^x=a;4^y=b;4^z=c\left(a,b,c>0\right)\)

=> \(abc=4^{x+y+z}=1\)

Khi đó 

\(VT=\sqrt{3+a}+\sqrt{3+b}+\sqrt{3+c}\)

      \(\ge\sqrt{4\sqrt[4]{a}}+\sqrt{4\sqrt[4]{b}}+\sqrt{4\sqrt[4]{c}}\)

      \(\ge3\sqrt[6]{64.\sqrt[4]{abc}}=6\)(ĐPCM)

Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1  => \(x=y=z=0\)

Đặt \(2^a=x;2^b=y;2^c=z\left(x,y,z>0\right)\)

=>\(xyz=2^{a+b+c}=1\)

Khi đó ĐPCM trở thành

\(x^3+y^3+z^3\ge x+y+z\)

Cosi \(x^3+1+1\ge3x;y^3+1+1\ge3y;z^3+1+1\ge3z\)

=> \(x^3+y^3+z^3+6\ge3\left(x+y+z\right)\)

Mà \(\)\(x+y+z\ge3\sqrt[3]{xyz}=3\)

=> \(x^3+y^3+z^3\ge x+y+z\)(ĐPCM)

Dấu bằng xảy ra khi x=y=z=1=> \(a=b=c=0\)

Trần Phúc Khang hình như chỗ \(x+y+z\ge3\)\(\Rightarrow\)\(x^3+y^3+z^3+6\ge3\left(x+y+z\right)\) ngược dấu đó anh 

Cần chứng minh: \(x^3+y^3+z^3\ge x+y+z\)

\(x^3+y^3+z^3\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{x+y+z}\ge\frac{\frac{\left(x+y+z\right)^4}{9}}{x+y+z}=\frac{\left(x+y+z\right)^3}{9}\)

Mà \(x+y+z=2^a+2^b+2^c\ge3\sqrt[3]{2^{a+b+c}}=3\)\(\Leftrightarrow\)\(\left(x+y+z\right)^2\ge9\)

\(\Leftrightarrow\)\(x+y+z\le\frac{\left(x+y+z\right)^3}{9}\le x^3+y^3+z^3\) đpcm

sai thì mn góp ý ạ 

với mọi số thực a thì \(3^{a^2-4};3^{4a+8}\) đều dương nên Cosi ta đc: 

\(3^{a^2-4}+3^{4a+8}\ge2\sqrt{3^{a^2+4a+4}}=2\sqrt{3^{\left(a+2\right)^2}}\ge2\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(a=-2\)

Áp dụng BĐT cosi ta có

\(\frac{1}{a^3}+\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}\ge\frac{3}{a^2b}\); \(\frac{1}{b^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}\ge\frac{3}{b^2c}\); \(\frac{1}{c^3}+\frac{1}{c^3}+\frac{1}{d^3}\ge\frac{3}{c^2d}\)

\(\frac{1}{d^3}+\frac{1}{d^3}+\frac{1}{a^3}\ge\frac{3}{d^2a}\)

Cộng các BĐt trên ta có 

\(\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}+\frac{1}{d^3}\ge\frac{1}{a^2b}+\frac{1}{b^2c}+\frac{1}{c^2d}+\frac{1}{d^2a}\)(1)

Áp dụng BĐT buniacoxki ta có

\(\left(\frac{a^2}{b^5}+\frac{b^2}{c^5}+\frac{c^2}{d^5}+\frac{d^2}{a^5}\right)\left(\frac{1}{a^2b}+\frac{1}{b^2c}+\frac{1}{c^2d}+\frac{1}{d^2a}\right)\ge \left(\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}+\frac{1}{d^3}\right)^2\)

Kết hợp với (1)  ta được ĐPCM

Dấu bằng xảy ra khi a=b=c

\(15+2\sqrt{35}+2\sqrt{15}+2\sqrt{21}=3+5+7+\left(2\sqrt{3}.\sqrt{5}+2\sqrt{5}.\sqrt{7}+2\sqrt{7}.\sqrt{3}\right)\)

\(=\left(\sqrt{3}+\sqrt{5}+\sqrt{7}\right)^2\)

ĐK:\(x\ge-1\)

PT<=> \(\frac{1+\sqrt{4x^2+14x+10}}{\sqrt{2x+5}+\sqrt{2x+2}}=1\) (nhân liên hợp với chú ý \(\sqrt{2x+5}+\sqrt{2x+2}>0\)và chia hai vế cho 3 để rút gọn )

\(\Leftrightarrow1+\sqrt{4x^2+14x+10}=\sqrt{2x+5}+\sqrt{2x+2}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{4x^2+14x+10}-\sqrt{2x+5}=\sqrt{2x+2}-1\)

Nhân liên hợp ở cả hai vế; (nhớ chú ý là cái mẫu nó sẽ luôn khác 0 với mọi x t/m đk rồi hãy nhân liên hợp nha)

\(PT\Leftrightarrow\frac{4\left(x+\frac{1}{2}\right)\left(x+\frac{5}{2}\right)}{\sqrt{4x^2+14x+10}+\sqrt{2x+5}}=\frac{2\left(x+\frac{1}{2}\right)}{\sqrt{2x+2}+1}\)

\(\Leftrightarrow\left(x+\frac{1}{2}\right)\left[\frac{4\left(x+\frac{5}{2}\right)}{\sqrt{4x^2+14x+10}+\sqrt{2x+5}}-\frac{2}{\sqrt{2x+2}+1}\right]=0\)

\(\Rightarrow x=-\frac{1}{2}\) (chưa nghĩ ra cách để đánh giá cái ngoặc to > 0)

ĐKXĐ \(x\ge-1\)

Nhân cả 2 vế với \(\sqrt{2x+5}+\sqrt{2x+2}\ne0\forall x\inĐKXĐ\)

=> \(3\left(1+\sqrt{\left(2x+5\right)\left(2x+2\right)}\right)=3\left(\sqrt{2x+5}+\sqrt{2x+2}\right)\)

<=> \(\left(\sqrt{\left(2x+5\right)\left(2x+2\right)}-\sqrt{2x+5}\right)-\left(\sqrt{2x+2}-1\right)=0\)

<=> \(\left(\sqrt{2x+2}-1\right)\left(\sqrt{2x+5}-1\right)=0\)

<=> \(\orbr{\begin{cases}x=-\frac{1}{2}\left(tmĐKXĐ\right)\\x=-2\left(KotmĐKXĐ\right)\end{cases}}\)

Vậy \(x=-\frac{1}{2}\)