a) Vì $AB=2BC$ suy ra ��=��2=��BC= AB/2=AD

ABCD là hình chữ nhật nên AB=DC suy ra 1/2AB=1/2DC do đó AI=DK=AD

Tứ giác AIKD có AI//DK, AI=DK nên tứ giác AIKD là hình bình hành 

Lại có AD=AI nên AIKD là hình thoi

Mà góc IAD= 90 độ do đó AIKD là hình vuông

Vậy tứ giác AIKD là hình vuông

Chứng minh tương tự cho tứ giác BIKC

Vậy tứ gáic BIKC là hình vuông

b) VÌ AIKD là hình vuông nên DI là tia phân giác góc ADK nên góc IDK = 45 độ

Tương tự góc ICK = 45 độ

Tam giác IDC cân có góc DIC = 90 độ nên là tam gaic vuông cân 

Vậy tam giác IDC là tam gáic  vuông cân

c) Vì AIKD, BCKI là các hình vuông nên hai đường chéo bằng nhau và cắt  nhau tại trung điểm mỗi đường nên SI=SK=DI/2 và IR=RK=IC/2

 =>ISKR là hình thoi

Lại có góc DIC= 90 độ nên ISKR là hình vuông

Vậy ISKR là hình vuông

a) Do ABCD là hình vuôn nên: 

\(AB=BC=CD=AD\) 

Mà: \(\left\{{}\begin{matrix}AB=AM+MB\\BC=BN+NC\\CD=CP+PD\\AD=DQ+QA\end{matrix}\right.\) 

Lại có: \(AM=BN=CP=DQ\)

\(\Rightarrow MB=NC=PD=QA\left(dpcm\right)\) 

b) Xét \(\Delta QAM\) và \(\Delta NCP\) có:

\(\widehat{A}=\widehat{C}=90^o\left(gt\right)\)

\(AM=CP\left(gt\right)\)

\(QA=NC\left(cmt\right)\)

\(\Rightarrow\Delta QAM=\Delta NCP\left(c.g.c\right)\) 

c) Xét các tam giác: \(\Delta QAM,\Delta NCP,\Delta PDQ,\Delta MBN\) ta có:

\(\widehat{A}=\widehat{B}=\widehat{C}=\widehat{D}=90^o\left(gt\right)\)

\(AM=BN=CP=DQ\left(gt\right)\)

\(MB=NC=PD=QA\left(cmt\right)\)

\(\Rightarrow\Delta QAM=\Delta NCP=\Delta PDQ=\Delta MBN\left(c.g.c\right)\) 

\(\Rightarrow MQ=QP=PN=NM\) (các cạnh tương ứng) 

\(\Rightarrow MNPQ\) là hình thoi (1)

Xét tam giác QAM ta có:

\(\widehat{QMA}+\widehat{AQM}=180^o-90^o=90^o\) 

Mà: \(\Delta QAM=\Delta MBN\left(cmt\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{BMN}=\widehat{AQM}\) (hai góc tương ứng) 

\(\Rightarrow\widehat{BMN}+\widehat{QMA}=90^o\)

Lại có: \(\widehat{BMN}+\widehat{QMA}+\widehat{NMQ}=180^o\)

\(\Rightarrow\widehat{NMQ}=180^o-90^o=90^o\) (2) 

Từ (1) và (2) ta có MNPQ là hình vuông 

a) $ABCD$ là hình vuông nên $AB=BC=CD=DA$

Mà $AM=BN=CP=DQ$.

Trừ theo vế ta được $AB-AM=BC-BN=CD-CP=DA-DQ$

Suy ra $MB=NC=PD=QA$

Xét tam giác QAM và tam giác NPC có:

góc A = góc C = 90 độ

AQ=NC(cmt)

AM=CP(gt)

=>Tam giác QAM= tam giác NPC(c.g.c)

c)=> NP = MQ ( hai cạnh tương ứng)

Chứng minh tương tự như phần b ta có: Tam giác QAM= tam giác PDQ và tam giác QAM= tam giác MBN

Khi đó: MQ=PQ, MN=MQ và góc AMQ= góc DQP

Mà góc AMQ+AQM=90 độ

=>góc DQP+ góc AQM= 90 độ

Do đó góc MQP = 90 độ

tứ giác MNPQ có bốn cạnh bằng nhau nên là hình thoi

Lại có góc MQP = 90 độ nên là hình vuông

Vậy tứ giác MNPQ là hình vuông

Xét hbh ABCD có AB =CD;AB//CD

+) $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AB,CD$

$=>AM=CN$

$+)M,N$ lần lượt là nằm trên của $AB,CD$

       => AM//CN

a) $ABCD$ là hình bình hành nên $AB=DC$ suy ra $\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2}AB=\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2}DC$

Do đó $AM=BM=DN=CN$.

Tứ giác $AMCN$ có $AM$ // $NC,AM=NC$ nên là hình bình hành.

Lại có $\Delta ADC$ vuông tại $A$ có $AN$ là đường trung tuyến nên $AN=\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2}DC=DN=CN$.

Hình bình hành $AMCN$ có hai cạnh kề bằng nhau nên là hình thoi, khi đó hai đường chéo $AC,MN$ vuông góc với nhau.

Tứ giác $AMCN$ là hình thoi.

a/

Ta có

IA=IC (gt); IM=IK (gt) => AMCK là hình bình hành (Tứ giác có 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường là hbh)

Ta có

MB=MC (gt); IA=IC (gt) => MI là đường trung bình của tg ABC => MI//AB

Mà \(AB\perp AC\) 

\(\Rightarrow MI\perp AC\Rightarrow MK\perp AC\)

=> AMCK là hình thoi (Hình bình hành có 2 đường chéo vuông góc là hình thoi)

b/

Ta có

MI//AB (cmt) => MK//AB

AK//MC (cạnh đối hbh AMCK) => AK//MB

=> AKMB là hbh (Tứ giác có các cặp cạnh đối // với nhau từng đôi một là hbh)

c/

Để AMCK là hình vuông \(\Rightarrow AM\perp BC\) => AM là đường cao của tg ABC

Mà AM là trung tuyến của tg ABC (gt)

=> ABC cân tại A (Tam giác có đường cao đồng thời là đường trung tuyến là tg cân)

=> Để AMCK là hình vuông thì tg ABC vuông cân tại A

a) Tứ giác $AMCK$ có hai đường chéo $AC,MK$ cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên là hình bình hành.

$\Delta ABC$ vuông tại $A$ có $AM$ là đường trung tuyến nên $AM=MC=MB$.

Vậy hình bình hành $AMCK$ có $AM=MC$ nên là hình thoi.

b) Vì $AMCK$ là hình thoi nên $AK$ // $BM$ và $AK=MC=BM$.

Tứ giác $AKMB$ có $AK$ // $BM,AK=BM$ nên là hình bình hành.

c) Để $AMCK$ là hình vuông thì cần có một góc vuông hay $AM\perp MC$.

Khi đó $\Delta ABC$ có $AM$ vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến nên cân tại $A$.

Vậy $\Delta ABC$ vuông cân tại $A$ thì $AMCK$ là hình vuông.

a) $Tam\; giácABC$ vuông cân nên góc B= góc C = 45 độ

Tam giácBHE vuông tại H có góc BEH + góc B = 90 độ

Suy ra góc BEH = 90 độ - 45 độ = 45 độ nên góc B= góc BEH = 45 độ

Vậy tam giác BEH vuông tại H

b) Chứng minh tương tự như câu a ta được tam giác CFG vuông tại G nên GF=GC và HB=HE

Lại có BH=HG=GC suy ra EH=HG=GF và EH//FG ( cùng vuông góc với BC)

Tứ giác EFGH có EH//FG, EH=FG

=>tứ giác EFGH là hình bình hành 

Xét hình bình hành có một góc vuông là góc H nên là hình chữ nhật

Mà hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau là EH=HG nên là hình vuông

Vậy EFGH là hình vuông

a) $\Delta ABC$ vuông cân nên $\hat{B}=\hat{C}={45}^{\circ }.$

$\Delta BHE$ vuông tại $H$ có $\widehat{BEH}+\hat{B}={90}^{\circ }$

Suy ra $\widehat{BEH}={90}^{\circ }-{45}^{\circ }={45}^{\circ }$ nên $\hat{B}=\widehat{BEH}={45}^{\circ }$.

Vậy $\Delta BEH$ vuông cân tại $H.$

b) Chứng minh tương tự câu a ta được $\Delta CFG$ vuông cân tại $G$ nên $GF=GC$ và $HB=HE$

Mặt khác $BH=HG=GC$ suy ra $EH=HG=GF$ và $EH$ // $FG$ (cùng vuông góc với $BC)$

Tứ giác $EFGH$ có $EH$ // $FG,EH=FG$ nên là hình bình hành.

Hình bình hành $EFGH$ có một góc vuông $\hat{H}$ nên là hình chữ nhật

Hình chữ nhật $EFGH$ có hai cạnh kề bằng nhau $EH=HG$ nên là hình vuông.

\(AC\perp Oy\) (gt); \(Ox\perp Oy\) (gt) => AC//Oy => AC//OB

C/m tương tự có AB//OC

=> OBAC là hình bình hành (Tứ giác có các cặp cạnh đối // với nhau từng đôi một là hbh)

Mà \(\widehat{xOy}=90^o\)

=> OBAC là HCN

Ta có

AC=AB (Tính chất đường phân giác)

=> OBAC là hình vuông

Tứ giác $OBAC$ có ba góc vuông: góc B= góc C = góc BOC= 90 độ �^=�^=���^=90∘==
∘

Nên $OBAC$ là hình chữ nhật.

Mà $A$ nằm trên tia phân giác $OM$ suy ra $AB=AC$.

Khi đó $OBAC$ là hình vuông.

Ta có:

|x - 1| + |x - 7|

= |x - 1| + |7 - x|

≥ |x - 1 + 7 - x| = 6

Vậy |x + 1| + |x - 7| ≥ 6

`B=y^2-4y+5`

`=y^2-4y+4+1`

`=(y-2)^2+1`

với `y=12` ta có

`(12-2)^2+1=10^2+1=100+1=101`

 Với y=12, ta có 

12² - 4x12 + 5

= 144 - 48 + 5

= 96 + 5=101

Góc DAC là góc nằm trong tam giác ABD, nên ta có thể tính được bằng cách lấy tổng các góc trong tam giác ABD trừ đi góc ADB: Góc DAC = 180° - góc ABD = 180° - 60° = 120°

Góc ADB là góc nằm trong tam giác CBD, nên ta có thể tính được bằng cách lấy tổng các góc trong tam giác CBD trừ đi góc CDB:

Góc ADB = 180° - góc CBD = 180° - 20° = 160°

Vậy số đo các góc DAC và ADB lần lượt là 120° và 160°.

 Nếu m hoặc n chia hết cho 3 thì hiển nhiên \(nm\left(m^2-n^2\right)⋮3\)

 Nếu cả m và n đều không chia hết cho 3 thì \(m^2,n^2\) đều chia 3 dư 1 (tính chất của số chính phương). Do đó \(m^2-n^2⋮3\) nên \(mn\left(m^2-n^2\right)⋮3\)

 Vậy \(mn\left(m^2-n^2\right)⋮3\) với mọi cặp số nguyên m, n.