Ta có \(\widehat{EDF}=\widehat{ECF}\) (chắn hai cung bằng nhau AI và BI của đường tròn (O))

\(\Rightarrow\) Tứ giác CDEF nội tiếp

\(\Rightarrow\widehat{DEF}+\widehat{DCF}=180^0\)

Mà \(\widehat{DCF}+\widehat{DAB}=180^0\) (tứ giác ABCD nội tiếp)

\(\Rightarrow\widehat{DEF}=\widehat{DAB}\)

\(\Rightarrow EF||AB\) (hai góc đồng vị bằng nhau)

Ta có:

\(x^2+3y^2=x^2+y^2+2y^2\ge2\sqrt{\left(x^2+y^2\right).2y^2}=2y\sqrt{2\left(x^2+y^2\right)}\)

\(\Rightarrow P=\sum\dfrac{xy}{x^2+3y^2}\le\sum\dfrac{x}{2\sqrt{2\left(x^2+y^2\right)}}=\dfrac{1}{2\sqrt{2}}\sum\sqrt{\dfrac{x^2}{x^2+y^2}}=\dfrac{1}{2\sqrt{2}}\sum\sqrt{\dfrac{a}{a+b}}\)

\(P\le\dfrac{1}{2\sqrt{2}}\sum\sqrt{a+c}.\sqrt{\dfrac{a}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}\)

\(\Rightarrow P^2\le\dfrac{1}{8}\left(\sum\sqrt{a+c}.\sqrt{\dfrac{a}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}\right)^2\le\dfrac{1}{8}\left(2a+2b+2c\right)\left(\dfrac{a}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}+\dfrac{b}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}+\dfrac{c}{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}\right)\)

\(\Rightarrow P^2\le\dfrac{1}{2}.\dfrac{\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\)

Lại có \(\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge\dfrac{8}{9}\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)\)

\(\Rightarrow P^2\le\dfrac{1}{2}.\dfrac{\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)}{\dfrac{8}{9}\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)}=\dfrac{9}{16}\)

\(\Rightarrow P\le\dfrac{3}{4}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\) hay \(x=y=z\)

iu

Gọi số bộ quần áo phân xưởng may theo kế hoạch mỗi ngày là:

 \(x\)(\(x\in\)N*) 

May 900 bộ quần áo cần : \(\dfrac{900}{x}\) (ngày)

Số ngày thực tế hoàn thành 900 bộ quần áo là: \(\dfrac{900}{x+10}\)

Theo bài ra ta có: \(\dfrac{900}{x}\) - \(\dfrac{900}{x+10}\) = 3

                             900. ( \(\dfrac{1}{x}\) - \(\dfrac{1}{x+10}\)) = 3

                             300.(\(\dfrac{x+10-x}{x(x+10)}\) ) = 1

                               \(\dfrac{3000}{x.(x+10)}\) = 1

                                 \(x\)(\(x\) + 10)  =  3000

                                 \(x^2\) + 10\(x\)    - 3000 = 0

                                Δ' = 5² + 3000 = 3025 

                               \(x_1\) = \(\dfrac{-5+\sqrt{3025}}{1}\)  = 50

                               \(x_2\) = \(\dfrac{-5-\sqrt{3025}}{1}\) = -60 (loại)

Vậy mỗi ngày xưởng đó sản xuất được  50 bộ quần áo

Phương trình hoành độ giao điểm 

x² = -2x + m - 1

<=> x² + 2x + 1 - m = 0 (1)

(p) cắt (d) 2 điểm phân biệt <=> \(\Delta=4-4\left(1-m\right)=4m>0\Leftrightarrow m>0\)

Hệ thức viete cho (1) : \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-2\\x_1x_2=1-m\end{matrix}\right.\)

Do A(x₁ ; y₁) và B(x₂ ; y₂) \(\in d\)

nên y₁ = -2x₁ + m - 1 

y₂ = -2x₂ + m - 1

khi đó y₁ + y₂ = 2m - 2 - 2(x₁ + x₂) = 2m + 2 

Ta có (y₁ + y₂)² = 110 - x₁² - x₂²

<=> (2m + 2)² = 110 - (x₁² + x₂²)

<=> (2m + 2)² = 110 - (x₁ + x₂)² + 2x₁x₂ 

<=> (2m + 2)² = 108 - 2m

<=> 4m² + 10m - 104 = 0

<=> \(\left[{}\begin{matrix}m=4\\m=-\dfrac{13}{2}\left(\text{loại}\right)\end{matrix}\right.\)

Vậy m = 4

\(\left\{{}\begin{matrix}2x+y=3\\3x+2y=4\end{matrix}\right.\) ⇒ \(\left\{{}\begin{matrix}2.(2x+y)=3.2\\3x+2y=4\end{matrix}\right.\) ⇒ \(\left\{{}\begin{matrix}4x+2y=6\\3x+2y=4\end{matrix}\right.\)

⇒ \(\left\{{}\begin{matrix}4x+2y-3x-2y=6-4\\3x+2y=4\end{matrix}\right.\)  ⇒ \(\left\{{}\begin{matrix}x=2\\3x+2y=4\end{matrix}\right.\) ⇒ \(\left\{{}\begin{matrix}x=2\\3.2+2y=4\end{matrix}\right.\)

⇒ \(\left\{{}\begin{matrix}x=2\\2y=-2\end{matrix}\right.\) ⇒ \(\left\{{}\begin{matrix}x=2\\y=-1\end{matrix}\right.\)

Vậy (\(x;y\)) =( 2; -1)

\(x^2\) - 5\(x\) - 6 = 0

a = 1; b = -5; c = - 6

⇒ a - b + c = 1 - (-5) - 6 = 0

⇒ \(x_1\) = -1;    \(x_2\) = - \(\dfrac{c}{a}\) = - \(\dfrac{-6}{1}\) = 6

Vậy S = { -1;  6}