\(u_n=\dfrac{3^n-1}{2^n}\)

\(\Rightarrow u_{n+1}=\dfrac{3^{n+1}-1}{2^{n+1}}\)

\(\Rightarrow u_{n+1}-u_n=\dfrac{3^{n+1}-1}{2^{n+1}}-\dfrac{3^n-1}{2^n}\)

\(\Rightarrow u_{n+1}-u_n=\dfrac{2^n.3^{n+1}-2^n-2^{n+1}.3^n+2^{n+1}}{2^n.2^{n+1}}\)

\(=\dfrac{2^n.3^n\left(3-2\right)-2^n\left(2-1\right)}{2^{2n+1}}\)

\(=\dfrac{2^n.\left(3^n-1\right)}{2^{2n+1}}\)

\(=\dfrac{\left(3^n-1\right)}{2}>0\left(n>1\right)\)

Vậy dãy \(u_n\)đã cho tăng

\(u_n:\left\{{}\begin{matrix}u_1=1\\u_{n+1}=3u_n+2n-1\left(1\right)\end{matrix}\right.\)

Đặt \(limu_n=a\Rightarrow limu_{n+1}=a\)

\(\left(1\right)\Rightarrow a=3a+2n-1\)

\(\Rightarrow a=\dfrac{1-2n}{2}\)

\(\Rightarrow limu_n=\dfrac{1-2n}{2}\)

\(\Rightarrow lim\dfrac{u_n}{3^n}=lim\dfrac{1-2n}{2.3^n}=0\)

Quá sai.

Đặt A=1+2+4+...+2^n

=>2A=2+2^2+2^3+...+2ⁿ⁺¹

=>\(A=2^{n+1}-1\)

Đặt B=1+5+5^2+...+5^n

=>\(5B=5+5^2+5^3+...+5^{n+1}\)

=>\(4B=5^{n+1}-1\)

=>\(B=\dfrac{5^{n+1}-1}{4}\)

\(lim\left(\dfrac{A}{B}\right)=\lim\limits\dfrac{2^{n+1}-1}{\dfrac{5^{n+1}-1}{4}}=\lim\limits\dfrac{2^{n+3}-4}{5^{n+1}-1}\)

\(=\lim\limits\dfrac{2^n\cdot8-4}{5^n\cdot5-1}\)

\(=\lim\limits\dfrac{\left(\dfrac{2}{5}\right)^n\cdot8-\dfrac{4}{5^n}}{5-\dfrac{1}{5^n}}=\dfrac{0}{5}=0\)

a) Để chứng minh rằng Un > 1 đối với mọi N và Un là dãy tăng, ta có thể sử dụng phương pháp quy nạp.

Bước cơ sở: Ta thấy rằng u1 = 2 > 1.

Bước giả sử: Giả sử đúng đối với một số nguyên k ≥ 1, tức là uk > 1.

Bước bước: Ta sẽ chứng minh rằng uk+1 > 1. Từ công thức cho dãy (Un), ta có:

uk+1 = uk-2015 + uk + 1/uk - uk + 3

Vì uk > 1 (theo giả thiết giả sử), ta có uk - 2015 > 0 và uk + 3 > 0. Do đó, uk+1 > 0.

Vì vậy, ta có uk+1 > 1, và đẳng thức này đúng đối với mọi số nguyên k ≥ 1.

Do đó, ta chứng minh được rằng Un > 1 đối với mọi N và Un là dãy tăng.

b) Để tính limn∑i=11uk - i + 2, ta có thể sử dụng định nghĩa của dãy (Un) và công thức tổng của dãy số aritmeti.

Từ công thức cho dãy (Un), ta có:

uk - i + 2 = uk - 2015 - i + uk + 1 - i + uk + 2 - i

Vì Un là dãy tăng, ta có thể viết lại công thức trên như sau:

uk - i + 2 = uk - 2015 - i + uk + 1 - i + uk + 2 - i

= (uk+1 - 2015 + uk + 1) - (uk - 2015 + uk) + (uk+1 - uk)

= 2uk+1 - 2uk + 2015

Do đó, ta có thể viết lại tổng như sau:

∑i=11uk - i + 2 = 2∑i=11uk+1 - 2∑i=11uk + 2015∑i=1

= 2(u12 - u2) + 2015(12)

Với giá trị cụ thể của u12 và u2, ta có thể tính được tổng trên.

Vì MN//BC'D, ta có tỉ lệ đồng dạng giữa các tam giác: AMN/ABC' = AD/AC' (theo định lý đồng dạng tam giác)

Vì AD = 3AM, ta có AMN = 3ABC'.

Từ đó, ta có: A'N/NC = AMN/ABC' = 3ABC'/ABC' = 3.

Vậy, A'N/NC = 3.

S = C₀₂₀₂₄ + 12.C₂₀₂₄ + 13.C₂₀₂₄ + 14.C₂₀₂₄ + ... + 11013.C₂₀₂₄

= (C₀₂₀₂₄ + C₂₀₂₄ + C₂₀₂₄ + C₂₀₂₄ + ... + C₂₀₂₄) + (C₂₀₂₄ + C₂₀₂₄ + C₂₀₂₄ + ... + C₂₀₂₄) + ... + (C₂₀₂₄)

= 11014.C₂₀₂₄

= 11014.

jhvugb

a) \(x^3-4x^2-5x+6=\sqrt[3]{7x^2+9x-4}\)

\(\Leftrightarrow-7x^2-9x+4+x^3+3x^2+4x+2=\sqrt[3]{7x^2+9x-4}\)

\(\Leftrightarrow-\left(7x^2+9x-4\right)+\left(x+1\right)^3+x+1=\sqrt[3]{7x^2+9x-4}\) (*)

Đặt \(\sqrt[3]{7x^2+9x-4}=a;x+1=b\)

Khi đó (*) \(\Leftrightarrow-a^3+b^3+b=a\)

\(\Leftrightarrow\left(b-a\right).\left(b^2+ab+a^2+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow b=a\)

Hay \(x+1=\sqrt[3]{7x^2+9x-4}\)

\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)^3=7x^2+9x-4\)

\(\Leftrightarrow x^3-4x^2-6x+5=0\)

\(\Leftrightarrow x^3-4x^2-5x-x+5=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-5\right)\left(x^2+x-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=5\\x=\dfrac{-1\pm\sqrt{5}}{2}\end{matrix}\right.\)

\(u_n=\sqrt[]{n+10}-\sqrt[]{n+2}\)

\(\Leftrightarrow u_n=\dfrac{n+10-\left(n+2\right)}{\sqrt[]{n+10}+\sqrt[]{n+2}}\)

\(\Leftrightarrow u_n=\dfrac{8}{\sqrt[]{n+10}+\sqrt[]{n+2}}\)

\(u_{n+1}=\sqrt[]{n+11}-\sqrt[]{n+3}\)

\(\Leftrightarrow u_{n+1}=\dfrac{n+11-\left(n+3\right)}{\sqrt[]{n+11}+\sqrt[]{n+3}}\)

\(\Leftrightarrow u_{n+1}=\dfrac{8}{\sqrt[]{n+11}+\sqrt[]{n+3}}\)

\(u_{n+1}-u_n=8\left(\dfrac{1}{\sqrt[]{n+11}+\sqrt[]{n+3}}-\dfrac{1}{\sqrt[]{n+10}+\sqrt[]{n+2}}\right)\)

mà \(\dfrac{1}{\sqrt[]{n+11}+\sqrt[]{n+3}}< \dfrac{1}{\sqrt[]{n+10}+\sqrt[]{n+2}}\)

\(\Rightarrow u_{n+1}-u_n< 0\)

Vậy dãy đã cho là dãy số giảm