Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O), gọi đường tròn (AOD) cắt AC tại E khác A. Lấy điểm F trên cạnh BC sao cho EF // CD. Chứng minh rằng:
a) EF.BD = AB.DE b) Tiếp tuyến tại E của đường tròn ngoại tiếp tam giác BEC chia đôi AF.
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}2xy+2x+2y=4+6\sqrt{2}\\x^2+y^2=6\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(x+y\right)^2+2\left(x+y\right)-10-6\sqrt{2}=0\left(1\right)\\x^2+y^2=6\left(2\right)\end{cases}}\)
Dat \(x+y=t\left(t\in R\right)\)
PT(1) tro thanh
\(t^2+2t-10-6\sqrt{2}=0\)
Ta lai co:
\(\Delta^`=1^2-1.\left(-10-6\sqrt{2}\right)=\left(3+\sqrt{2}\right)^2>0\)
\(\Rightarrow t_1=2+\sqrt{2};t_2=-4-\sqrt{2}\)
Voi \(x+y=2+\sqrt{2}\Rightarrow y=2+\sqrt{2}-x\)
Thay vao PT(2) ta duoc:
\(x^2+\left(2+\sqrt{2}-x\right)^2=6\)
\(\Leftrightarrow2x^2-\left(2\sqrt{2}+4\right)x+4\sqrt{2}=0\)
Ta lai co:
\(\Delta^`=\left[-\left(\sqrt{2}+2\right)\right]^2-2.4\sqrt{2}=\left(2-\sqrt{2}\right)^2>0\)
\(\Rightarrow x_1=2;x_2=\sqrt{2}\)
\(\Rightarrow y_1=\sqrt{2};y_2=2\)
Voi \(x+y=-4-\sqrt{2}\Rightarrow y=-4-\sqrt{2}-x\)
Thay vao PT(2) ta duoc:
\(x^2+\left(-4-\sqrt{2}-x\right)^2=6\)
\(\Leftrightarrow2x^2+\left(2\sqrt{2}+8\right)x+12+8\sqrt{2}=0\)
Ta lai co:
\(\Delta^`=\left(\sqrt{2}+4\right)^2-2.\left(12+8\sqrt{2}\right)=-\left(6+8\sqrt{2}\right)< 0\)
Suy ra: \(x+y=-4-\sqrt{2}\left(l\right)\)
Vay nghiem cua HPT la \(\left(2;\sqrt{2}\right),\left(\sqrt{2};2\right)\)
1) Vì ^AEB chắn nửa đường tròn (O) nên EA vuông góc EB. Do đó BE // CM.
Suy ra tứ giác BECM là hình thang cân (Vì 4 điểm B,C,M,E cùng thuộc (O))
Kết hợp với M là điểm chính giữa cung AB suy ra CE = BM = AM hay (CE = (AM
Vậy thì tứ giác ACEM là hình thang cân (đpcm).
2) Đường tròn (O) có M là điểm chính giữa cung AB, suy ra MO vuông góc AB
Từ đó MO // CH suy ra ^HCM = ^OMC = ^OCM. Vậy CM là phân giác của ^HCO (đpcm).
3) Kẻ đường kính MG của đường tròn (O). Dễ thấy ^DOG = ^DCG (= 900)
Suy ra 4 điểm C,D,O,G cùng thuộc đường tròn đường kính DG
Mặt khác AB là trung trực của MG, D thuộc AB nên DG = DM
Theo mối quan hệ giữa đường kính và dây ta có:
\(CD\le DG=DM\Leftrightarrow2CD\le DM+CD=CM\Leftrightarrow CD\le\frac{1}{2}CM\)
Lại có tứ giác ACEM là hình thang cân, do vậy \(CD\le\frac{1}{2}CM=\frac{1}{2}AE\)(đpcm).
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi C là điểm chính giữa cung AB không chứa M của (O).
a) Bổ đề: Cho đường tròn (O) có dây cung AB và điểm C nằm bên trong đường tròn. Giả sử CO là phân giác góc ACB. Khi đó CA = CB. (Phép chứng minh Bổ đề rất đơn giản, không trình bày tại đây)
Giải bài toán: Vì 4 điểm A,E,O,F cùng thuộc một đường tròn nên ^OED = ^OAD = ^ODA = ^OEC
Áp dụng Bổ đề ta thu được ED = EC. Ta thấy ^ECF = ^ACB = ^BDA; ^CEF = ^ACD = ^DBA
Suy ra \(\Delta\)EFC ~ \(\Delta\)BAD (g.g), từ đây EF.BD = AB.EC = AB.DE (Vì ED = EC) (đpcm).
b) Gọi I là trung điểm đoạn AF, ta sẽ chứng minh rằng EI là tiếp tuyến của (BEC). Thật vậy:
Trên nửa mặt phẳng bờ AB không chứa E, lấy K sao cho \(\Delta\)BKA ~ \(\Delta\)BED. Khi đó:
\(\frac{KA}{ED}=\frac{BA}{BD}\). Từ câu a có \(\frac{BA}{BD}=\frac{EF}{ED}\). Do đó KA = EF (1)
Dễ thấy ^KAD = ^BAD + ^BDE = ^BAD + ^OAC - ^ODB = ^BAD + 900 - ^ADC - 900 + ^BCD = ^ABC
Suy ra ^KAD + ^ADC = 1800 tức là AK // CD (2)
Từ (1) và (2) suy ra tứ giác AKFE là hình bình hành. Lúc này E,I,K thẳng hàng.
Từ đó ^BCE = ^BCA = ^BDA = ^BEK = ^BEI (Vì \(\Delta\)BKE ~ \(\Delta\)BAD (c.g.c))
Vậy EI là tiếp tuyến của (BEC) hay tiếp tuyến tại E của (BEC) chia đôi AF (đpcm).