a) Bổ đề: Cho đường tròn (O) có dây cung AB và điểm C nằm bên trong đường tròn. Giả sử CO là phân giác góc ACB. Khi đó CA = CB. (Phép chứng minh Bổ đề rất đơn giản, không trình bày tại đây)

Giải bài toán: Vì 4 điểm A,E,O,F cùng thuộc một đường tròn nên ^OED = ^OAD = ^ODA = ^OEC

Áp dụng Bổ đề ta thu được ED = EC. Ta thấy ^ECF = ^ACB = ^BDA; ^CEF = ^ACD = ^DBA

Suy ra \(\Delta\)EFC ~ \(\Delta\)BAD (g.g), từ đây EF.BD = AB.EC = AB.DE (Vì ED = EC)  (đpcm).

b) Gọi I là trung điểm đoạn AF, ta sẽ chứng minh rằng EI là tiếp tuyến của (BEC). Thật vậy:

Trên nửa mặt phẳng bờ AB không chứa E, lấy K sao cho \(\Delta\)BKA ~ \(\Delta\)BED. Khi đó:

\(\frac{KA}{ED}=\frac{BA}{BD}\). Từ câu a có \(\frac{BA}{BD}=\frac{EF}{ED}\). Do đó KA = EF (1)

Dễ thấy ^KAD = ^BAD + ^BDE = ^BAD + ^OAC - ^ODB = ^BAD + 90⁰ - ^ADC - 90⁰ + ^BCD = ^ABC

Suy ra ^KAD + ^ADC = 180⁰ tức là AK // CD (2)

Từ (1) và (2) suy ra tứ giác AKFE là hình bình hành. Lúc này E,I,K thẳng hàng.

Từ đó ^BCE = ^BCA = ^BDA = ^BEK = ^BEI (Vì \(\Delta\)BKE ~ \(\Delta\)BAD (c.g.c))

Vậy EI là tiếp tuyến của (BEC) hay tiếp tuyến tại E của (BEC) chia đôi AF (đpcm).

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}2xy+2x+2y=4+6\sqrt{2}\\x^2+y^2=6\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(x+y\right)^2+2\left(x+y\right)-10-6\sqrt{2}=0\left(1\right)\\x^2+y^2=6\left(2\right)\end{cases}}\)

Dat \(x+y=t\left(t\in R\right)\)

PT(1) tro thanh 

\(t^2+2t-10-6\sqrt{2}=0\)

Ta lai co:

\(\Delta^`=1^2-1.\left(-10-6\sqrt{2}\right)=\left(3+\sqrt{2}\right)^2>0\)

\(\Rightarrow t_1=2+\sqrt{2};t_2=-4-\sqrt{2}\)

Voi \(x+y=2+\sqrt{2}\Rightarrow y=2+\sqrt{2}-x\)

Thay vao PT(2) ta duoc:

\(x^2+\left(2+\sqrt{2}-x\right)^2=6\)

\(\Leftrightarrow2x^2-\left(2\sqrt{2}+4\right)x+4\sqrt{2}=0\)

Ta lai co:

\(\Delta^`=\left[-\left(\sqrt{2}+2\right)\right]^2-2.4\sqrt{2}=\left(2-\sqrt{2}\right)^2>0\)

\(\Rightarrow x_1=2;x_2=\sqrt{2}\)

\(\Rightarrow y_1=\sqrt{2};y_2=2\)

Voi \(x+y=-4-\sqrt{2}\Rightarrow y=-4-\sqrt{2}-x\)

Thay vao PT(2) ta duoc:

\(x^2+\left(-4-\sqrt{2}-x\right)^2=6\)

\(\Leftrightarrow2x^2+\left(2\sqrt{2}+8\right)x+12+8\sqrt{2}=0\)

Ta lai co:

\(\Delta^`=\left(\sqrt{2}+4\right)^2-2.\left(12+8\sqrt{2}\right)=-\left(6+8\sqrt{2}\right)< 0\)

Suy ra: \(x+y=-4-\sqrt{2}\left(l\right)\)

Vay nghiem cua HPT la \(\left(2;\sqrt{2}\right),\left(\sqrt{2};2\right)\)

1) Vì ^AEB chắn nửa đường tròn (O) nên EA vuông góc EB. Do đó BE // CM.

Suy ra tứ giác BECM là hình thang cân (Vì 4 điểm B,C,M,E cùng thuộc (O))

Kết hợp với M là điểm chính giữa cung AB suy ra CE = BM = AM hay (CE = (AM

Vậy thì tứ giác ACEM là hình thang cân (đpcm).

2) Đường tròn (O) có M là điểm chính giữa cung AB, suy ra MO vuông góc AB

Từ đó MO // CH suy ra ^HCM = ^OMC = ^OCM. Vậy CM là phân giác của ^HCO (đpcm).

3) Kẻ đường kính MG của đường tròn (O). Dễ thấy ^DOG = ^DCG (= 90⁰)

Suy ra 4 điểm C,D,O,G cùng thuộc đường tròn đường kính DG

Mặt khác AB là trung trực của MG, D thuộc AB nên DG = DM

Theo mối quan hệ giữa đường kính và dây ta có: 

\(CD\le DG=DM\Leftrightarrow2CD\le DM+CD=CM\Leftrightarrow CD\le\frac{1}{2}CM\)

Lại có tứ giác ACEM là hình thang cân, do vậy \(CD\le\frac{1}{2}CM=\frac{1}{2}AE\)(đpcm).

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi C là điểm chính giữa cung AB không chứa M của (O).