cho A=\(\left(1+\frac{\sqrt{x}}{x+1}\right):\frac{x\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}-1}\)
a) tìm điều kiện để A có nghĩa
b) rút gọn A
c) tìm x để A =\(\frac{1}{5}\)
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Bài này mình gặp rất nhiều khó khăn khi biến đổi, và vì biểu thức quá dài nên mình phải dùng ký hiệu \(\Sigma_{sym}\), có thể sẽ gặp phải những sai sót-> sai cả bài, do đó bài làm bên dưới chỉ nêu hướng làm thôi (quy đồng).
Nhân hai vế của BĐT cho \(2\left(ab+bc+ca\right)\left(a^2+bc\right)\left(b^2+ca\right)\left(c^2+ab\right)\) BĐT cần chứng minh tương đương:
\(\Leftrightarrow\)\(3\Sigma_{sym}a^3b^3c+\Sigma_{sym}ab^4c^2\ge3\Sigma_{sym}a^5bc+\Sigma_{sym}a^4b^3\)
\(\Leftrightarrow3\Sigma_{sym}\left(a^3b^3c-ab^5c\right)+\Sigma_{sym}b^4c^2a\ge\Sigma_{sym}a^4b^3\)
Do \(3\Sigma_{sym}\left(a^3b^3c-ab^5c\right)\ge0\) theo định lí Muirhead.
Do đó ta sẽ chứng minh: \(\Sigma_{sym}b^4c^2a\ge\Sigma_{sym}a^4b^3\). Và chịu:(
Không mất tính tổng quát, ta giả sử c là số nhỏ nhất.
Đặt \(f\left(a;b;c\right)=VP-VT\) và \(t=\frac{a+b}{2}\)
Trước hết ta chứng minh \(f\left(a;b;c\right)\ge f\left(t;t;c\right)\).
Xét hiệu hai vế và nó tương đương ta thấy nó \(\ge0\) do giả sử:
Vậy ta chỉ cần chứng minh \(f\left(t;t;c\right)\ge0\Leftrightarrow\frac{\left(c-t\right)^2\left(3c^2+3ct+2t^2\right)}{2t\left(c+t\right)\left(2c+t\right)\left(c^2+t^2\right)}\ge0\) (đúng)
Vậy ta có đpcm.
P/s: Lần sau cho đề đẹp đẹp tí, kiểu này quy đồng mà không có máy tính thì cực chetme:(
Gọi giao điểm của hai tia MA và BI là J.
Ta thấy I là tâm nội tiếp \(\Delta\)ABC, CI cắt (ABC) tại M. Suy ra M là điểm chính giữa cung AB không chứa C.
Từ đó ta có biến đổi góc ^AJB = 1800 - ^AMB - ^IBM = (^ACB - ^ABC)/2 = ^AKB
Suy ra tứ giác ABKJ nội tiếp. Mà BJ là phân giác góc ABK nên (JA = (JK hay JA = JK
Đồng thời IM // JK (Vì ^JKB = ^BAM = ^BCM)
Mặt khác ^MAI = ^MIA = (^BAC + ^ACB)/2 nên MI = MA. Áp dụng ĐL Thales ta có:
\(\frac{MI}{KJ}=\frac{AM}{AJ}=\frac{NI}{NJ}\). Kết hợp với ^MIN = ^KJN (IM // JK) suy ra \(\Delta\)MIN ~ \(\Delta\)KJN (c.g.c)
Suy ra ^MNI = ^KNJ. Lại có I,N,J thẳng hàng, dẫn đến M,N,K thẳng hàng (đpcm).
a) ĐKXD : \(x\ge0;x\ne1\)
b)\(A=\left(1+\frac{\sqrt{x}}{x+1}\right):\frac{x\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}-1}\)
\(A=\frac{\left(x+1+\sqrt{x}\right).\left(\sqrt{x}-1\right)}{\left(x+1\right).\left(x\sqrt{x}-1\right)}\)
\(A=\frac{\sqrt{x^3}-1}{\left(x+1\right).\left(\sqrt{x^3}-1\right)}\)
\(A=\frac{1}{x+1}\)
c) \(A=\frac{1}{5}\Rightarrow\frac{1}{x+1}=\frac{1}{5}\)
\(\Rightarrow x+1=5\)
\(\Rightarrow x=4\)