Đặt \(n^2+2017=a^2\)

\(\Leftrightarrow a^2-n^2=2017\)

\(\Leftrightarrow\left(a+n\right)\left(a-n\right)=2017=1.2017=2017.1\)

Mà \(a+n\ge a-n\left(n\inℕ\right)\)nên \(\hept{\begin{cases}a+n=2017\\a-n=1\end{cases}}\Leftrightarrow n=1008\)

ĐKXĐ:\(x\ge0\)

Ta có:\(A=\frac{2}{x+\sqrt{x}+1}\)

Để A đạt GTLN thì \(x+\sqrt{x}+1\) đạt GTNN.

Mà \(x+\sqrt{x}+1=\left(x+\sqrt{x}+\frac{1}{4}\right)+\frac{3}{4}=\left(\sqrt{x}+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\ge2\)

Khi đó \(A_{max}=2\Leftrightarrow x=0\)

Hướng dẫn:

+) Với n = 7k  ; k thuộc N

\(n^2+2n+3=\left(7k\right)^2+2.7k+3=7.A+3\)không chia hết cho 7

+) n= 7k +1

\(n^2+2n+3=\left(7k+1\right)^2+2.\left(7k+1\right)+3=7.A+\left(1+2+3\right)=7.B+6\)không chia hết cho 7

+) n = 7k+ 2...

+) n = 7k+3...

+) n= 7k + 4...

+) n= 7k+5...

+) n = 7k + 6 

\(n^2+2n+3=\left(7k+6\right)^2+2.\left(7k+6\right)+3=7.G+\left(6^2+2.6+3\right)=7.G+51\)không chia hết cho 7

Vậy \(n^2+2n+3\)không chia hết cho 7 vs mọi n thuộc N

\(ĐKXĐ:x\ge\frac{1}{2}\)

Phương trình đã cho tương đương :

\(4.\left(x^2+1\right)+3.x.\left(x-2\right).\sqrt{2x-1}=2x^3+10x\)

\(\Leftrightarrow3x\left(x-2\right)\sqrt{2x-1}=2x^3-8x^2+10x-4\)

\(\Leftrightarrow3x.\left(x-2\right).\sqrt{2x-1}=2.\left(x-2\right).\left(x-1\right)^2\) (1)

Dễ thấy \(x=2\) là một nghiệm của (1). Xét \(x\ne2\). Khi đó ta có :

\(3x.\sqrt{2x-1}=2.\left(x-1\right)^2\)(*)

Đặt \(\sqrt{2x-1}=a\left(a\ge0\right)\Rightarrow-a^2=1-2x\)

Khi đó pt (*) có dạng :

\(3x.a=2.\left(x^2-a^2\right)\)

\(\Leftrightarrow2x^2-3xa-2a^2=0\)

\(\Leftrightarrow2x^2-4ax+xa-2a^2=0\)

\(\Leftrightarrow2x.\left(x-2a\right)+a.\left(x-2a\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-2a\right)\left(a+2x\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}2a=x\\a=-2x\end{cases}}\)

+) Với \(2a=x\Rightarrow2\sqrt{2x-1}=x\left(x\ge0\right)\)

\(\Leftrightarrow x^2=4.\left(2x-1\right)\)

\(\Leftrightarrow x^2-8x+4=0\)

\(\Leftrightarrow x=4\pm2\sqrt{3}\) ( Thỏa mãn )

+) Với \(a=-2x\Rightarrow\sqrt{2x-1}=-2x\left(x\le0\right)\)

\(\Leftrightarrow4x^2=2x-1\)

\(\Leftrightarrow4x^2-2x+1=0\) ( Vô nghiệm )

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm \(S=\left\{4\pm2\sqrt{3},2\right\}\)