Cho tam giác ABC nhọn có các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Trên các đoạn thẳng HB, HC lấy các điểm M, N tùy ý sao cho HM=CN. Chứng minh đường trung trực của MN luôn đi qua một điểm cố định.
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\Leftrightarrow\frac{-3x\left(x+1\right)}{x+\sqrt{x^2+x+1}}+x+1=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)\left(1-\frac{3x}{\sqrt{x^2+x+1}}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=-1\left(1\right)\\1=\frac{3x}{\sqrt{x^2+x+1}}\left(2\right)\end{cases}}\)
PT(2)\(\Leftrightarrow\sqrt{x^2+x+1}=3x\)
\(\Leftrightarrow x^2+x+1=9x^2\)
\(\Leftrightarrow8x^2-x-1=0\)
Ta co
\(\Delta=\left(-1\right)^2-4.8.\left(-1\right)=33>0\)
\(\Rightarrow x_1=\frac{1+\sqrt{33}}{8};x_2=\frac{1-\sqrt{33}}{8}\)
Vay PT co nghiem la \(x=-1;x_1=\frac{1+\sqrt{33}}{8};x_2=\frac{1-\sqrt{33}}{8}\)
Bạn tham khảo câu hỏi này nha ,cũng giống của bạn đó !
https://olm.vn/hoi-dap/detail/190594364306.html
\(\sqrt{x+3}+\sqrt{1-x}+8\sqrt{\left(x+3\right)\left(1-x\right)}=2\)
\(\sqrt{x+3}\left(1+8\sqrt{1-x}\right)+\sqrt{1-x}-2=0\)
\(\sqrt{x+3}\left(1+8\sqrt{1-x}\right)-\frac{x+3}{\sqrt{1-x}+2}=0\)
\(\sqrt{x+3}\left(1+8\sqrt{1-x}-\frac{\sqrt{x+3}}{\sqrt{1-x}+2}\right)=0\)
\(\Rightarrow x=-3\)
\(8\sqrt{1-x}+\frac{\sqrt{1-x}+2-\sqrt{x+3}}{\sqrt{1-x}+2}=0\)
\(\Rightarrow8\sqrt{1-x}\left(\sqrt{1-x}+2\right)+\sqrt{1-x}+\frac{1-x}{2+\sqrt{x+3}}=0\)
\(\Rightarrow\sqrt{1-x}\left(8\sqrt{1-x}+17+\frac{\sqrt{1-x}}{2+\sqrt{x+3}}\right)=0\)
\(\left(8\sqrt{1-x}+17+\frac{\sqrt{1-x}}{2+\sqrt{x+3}}\right)>0\)
\(\Rightarrow x=1\)
Vậy pt 2 nghiệm x=-3 x=1
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{a+b+c}\) hinh nhu theo co dieu kien a,b,c ko dong thoi = 0
<=> \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{a+b+c}-\frac{1}{c}\)
<=> \(\frac{a+b}{ab}=\frac{c-a-b-c}{c\left(a+b+c\right)}\)
<=> \(\left(a+b\right)\left(ac+bc+c^2\right)=-ab\left(a+b\right)\)
<=> \(\left(a+b\right)\left(ac+bc+c^2\right)+ab\left(a+b\right)=0\)
<=> \(\left(a+b\right)\left(ac+bc+c^2+ab\right)=0\)
<=> \(\left(a+b\right)\left(a+c\right)\left(b+c\right)=0\)
<=> a+b=0 hoac a+c=0 hoac b+c=0
do khi luy thua a,b,c len cach so mu le la 27,41,2019 thi a,b,c ko doi dau nen \(a^{27}+b^{27}=0.hoac.b^{41}+c^{41}=0.hoac.c^{2019}+a^{2019}=0\)
P = 0
Vay P = 0
Study well
Ta có : \(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{a+b+c}-\frac{1}{a}\Rightarrow\frac{b+c}{bc}=\frac{a-a-b-c}{a^2+ab+ac}\)
\(\Leftrightarrow\frac{b+c}{bc}=\frac{-b-c}{a^2+ab+ac}\Leftrightarrow\left(b+c\right)\left(a^2+ab+ac\right)=-\left(b+c\right)bc\)
\(\left(b+c\right)\left(a^2+ab+ac\right)+\left(b+c\right)bc=0\)
\(\Rightarrow\left(b+c\right)\left(a^2+ab+ac+bc\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(b+c\right)[\left(a+b\right)a+c\left(a+b\right)]=0\)
\(\Leftrightarrow\left(b+c\right)\left(a+b\right)\left(a+c\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}b=-c\\\orbr{\begin{cases}a=-b\\c=-a\end{cases}}\end{cases}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}b^{41}+c^{41}=0\\\orbr{\begin{cases}a^{27}+b^{27}=0\\c^{2019}+a^{2019}=0\end{cases}}\end{cases}}}\)\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}b=-c\\\orbr{\begin{cases}a=-b\\c=-a\end{cases}}\end{cases}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}b^{41}+c^{41}=0\\\orbr{\begin{cases}a^{27}+b^{27}=0\\a^{2019}+c^{2019}=0\end{cases}}\end{cases}}}\)
\(VT=\sqrt{-\left(x-1\right)^2+3}+\sqrt{-\left(x+3\right)^2+1}< 1+\sqrt{3}\) pt vô nghiệm
Gọi I là giao điểm của đường trung trực đoạn HC và tia phân giác ^BHC => I là điểm cố định
I nằm trên đường trung trực của HC nên IH = IC => ∆IHC cân tại I => ^IHC = ^ICH
Lại có: ^IHC = ^IHM (Do HI là tia phân giác của ^BHC, theo cách chọn điểm phụ) => ^IHM = ^ICH hay ^IHM = ^ICN
Xét ∆ICN và ∆IHM có:
IC = IH (theo cách chọn hình phụ)
^ICN = ^IHM (cmt)
CN = HM (gt)
Do đó ∆ICN = ∆IHM (c.g.c)
=> IN = IM (hai cạnh tương ứng)
Do đó I thuộc đường trung trực của MN
Vậy đường trung trực của MN luôn đi qua một điểm cố định I (đpcm)