ĐKXD:....

\(=\frac{a}{\sqrt{a^2-b^2}}-\frac{\sqrt{a^2-b^2}+a}{\sqrt{a^2-b^2}}.\frac{a-\sqrt{a^2-b^2}}{1}\)

\(=\frac{a}{\sqrt{a^2-b^2}}+\frac{[\left(\sqrt{a^2-b^2}\right)^2-a^2]}{\sqrt{a^2-b^2}}\)

\(=\frac{a+\left(\sqrt{a^2-b^2}\right)^2-a^2}{\sqrt{a^2-b^2}}\)

\(=........\) 

Đến đây thì chịu :( ! 

Mọi số n không là số chính phương thì \(\sqrt{n}\)là số vô tỉ nên

\(\sqrt{2}\)và \(\sqrt{3}\)là số vô tỉ

Suy ra \(\sqrt{2}+\sqrt{3}\)là số vô tỉ

Đặt \(x=\sqrt{2}+\sqrt{3}\)

Giả sử x là số hữu tỉ , nghĩa là \(x=\frac{p}{q}\left(p,q\in N,q\ne0\right)\)

Ta có : \(\frac{p}{q}=\sqrt{2}+\sqrt{3}\)

\(\Leftrightarrow\frac{p^2}{q^2}=\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\frac{p^2}{q^2}-5=2\sqrt{6}\) ( vô lí )

Vì \(\frac{p^2}{q^2}\) là số hữu tỉ và \(2\sqrt{6}\) là số vô tỉ

Vậy \(x=\sqrt{2}+\sqrt{3}\) không phải là số hữu tỉ 

\(\Rightarrow x=\sqrt{2}+\sqrt{3}\) lá số vô tỉ

Chúc bạn học tốt !!!

Giúp với mình gấp quá

\(=\frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}-\frac{x+1}{x-1}\)

\(=\frac{2\sqrt{x}\left(x-1\right)-\left(x+1\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(x-1\right)}\)

\(=\frac{2x\sqrt{x}-2\sqrt{x}-x\sqrt{x}+x-\sqrt{x}+1}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(x-1\right)}\)

\(=\frac{x\sqrt{x}-\sqrt{x}+1}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(x-1\right)}\)

\(=\frac{x\sqrt{x}-\sqrt{x}+1}{x\sqrt{x}-\sqrt{x}-x+1}=1-\frac{x}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(x-1\right)}\)

Câu 2, Do 0<x,y,z<=1 nên ta có:

\(\hept{\begin{cases}\left(x-1\right)\left(y-1\right)\ge0\\\left(y-1\right)\left(z-1\right)\ge0\\\left(z-1\right)\left(x-1\right)\ge0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}xy+1\ge x+y\\yz+1\ge y+z\\xz+1\ge x+z\end{cases}}}\) 

Thay vào VT ta có:

\(VT\le\frac{x}{x+y+z}+\frac{y}{x+y+z}+\frac{z}{x+y+z}=1\)(1)

Do x,y,z <= 1 nên x+y+z <=3 nên \(\frac{3}{x+y+z}\ge\frac{3}{3}=1\)(2)

Từ (1),(2) -> dpcm

1/ Vai trò của a, b, c là bình đẳng, không mất tính tổng quát, giả sử \(2\ge a\ge b\ge c\ge0\)

Khi đó \(3=a+b+c\le3a\Rightarrow1\le a\le2\Rightarrow\left(a-1\right)\left(a-2\right)\le0\)

Ta có:

\(LHS=a^3+b^3+c^3\le a^3+b^3+c^3+3bc\left(b+c\right)\)

\(=a^3+\left(b+c\right)^3=a^3+\left(3-a\right)^3\)

\(=9a^2-27a+27=9\left(a-1\right)\left(a-2\right)+9\le9\)

Đẳng thức xảy ra khi a = 2; b = 1; c = 0 và các hoán vị.

P/s: Is that true?