Áp dụng BĐT Svác ta có:

\(\frac{a^2}{2b+c}+\frac{b^2}{2c+a}+\frac{c^2}{2a+b}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3\left(a+b+c\right)}=\frac{a+b+c}{3}\)

 a)

\(M=\frac{-(\sqrt{x}+1)\left(\sqrt{x}+2\right)}{-\left(\sqrt{x}-2\right)\left(x+2\right)}+\frac{-2\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-2\right)}{-\left(\sqrt{x}-2\right)\left(x+2\right)}+\frac{2+5\sqrt{x}}{-\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}\)

\(=\frac{-x-3\sqrt{x}-2-2x+4\sqrt{x}+2+5\sqrt{x}}{4-x}\)

\(=\frac{-3x+6\sqrt{x}}{-\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}=\frac{-3\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-2\right)}{-\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}=\frac{-3\sqrt{x}}{-\sqrt{x}-2}\)

Gọi pt đường thẳng đi qua 2 điểm A và B là: (d)y = ax + b

\(\hept{\begin{cases}A\left(-1;2\right)\in d\\B\left(-2;-1\right)\in d\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}2=-a+b\\-1=-2a+b\end{cases}}\Rightarrow a=3\Rightarrow b=-5\)

\(\Rightarrow\left(d\right)y=3x-5\)

3x^3-3x^2-3x=1

4x^3=(x+1)^3

x=1/(căn 3 của 4) -1

\(\frac{y-y_1}{y_2-y_1}=\frac{ax+b-ax_1-b}{ax_2+b-ax_1-b}=\frac{a\left(x-x_1\right)}{a\left(x_2-x_1\right)}=\frac{x-x_1}{x_2-x_1}\)

\(\Delta=\left(2b\right)^2-18a\left(671-9a\right)=162a^2-12078a+4b^2\)

\(=\left(81a^2-12078a+450241\right)+\left(81a^2+4b^2\right)-450241\)

\(\ge\left(9a-671\right)^2+\frac{\left(9a+2b\right)^2}{2}-450241\ge\frac{\left(\frac{2013}{2}\right)^2}{2}-450241>0\)

\(2.x^{2011}+2009=x^{2011}+x^{2011}+1+1+...+1\ge2011\sqrt[2011]{x^{4022}}=2011x^2\)

\(tt:2y^{2011}+2009\ge2011x^2;2z^{2011}+2009\ge2011z^2\)

\(\text{Cộng vế theo vế ta được:}6+6027\ge2011\left(x^2+y^2+z^2\right)\Rightarrow2011.3\ge2011M\Rightarrow M\le3\)

\(\Rightarrow M_{max}=3.\text{Dấu "=" xảy ra khi:}x=y=z=1\)

bài này dùng cauchy(chắc phải c/m)

có: x+y-2 căn xy = (cănx - căny)^2 lớn hơn hoặc = 0 =>x+y > hoặc = 2cănxy

2x^2011+2009 lớn hơn hoặc =2011x^2(mình lười rút gọn vế phải sr b)

tg tự(. . .) ta có 2011(x^2+y^2+z^2) nhỏ hơn hoặc =2(x^2011+y^2011+z^2011)+3x2009=6+6027=6033

=>x^2+y^2+z^2 nhỏ hơn hoặc = 3

max m là 3 khi x=y=z=3/3=1