\(\Delta=4\left(m+1\right)^2-4.2.\left(m^2+4m+3\right)\)= -4m²-24m-20 = (-4m-4)(m+5)

phương trình có 2 nghiệm => (-4m-4)(m+5) >0 <=> (4m+4)(m+5) <0 <=> -5 < m < -1

A = \(|\frac{c}{a}-2.\frac{-b}{a}|=\left|\frac{2b+c}{a}\right|\)

= |\(\frac{4\left(m+1\right)+m^2+4m+3}{4}\)| = |\(\frac{m^2}{4}+2m+\frac{7}{2}\)| = | (\(\frac{m}{2}+2\))² -\(\frac{1}{2}\)|

(m+2)²-\(\frac{1}{2}\ge0< =>\orbr{\begin{cases}m\ge\sqrt{2}-4\\m\le-\sqrt{2}-4\end{cases}}\)kết hợp với -5<m<-1 ta được \(\sqrt{2}-4\le m< -1\)  

=> (m+2)²-\(\frac{1}{2}< 0< =>-5< m< \sqrt{2}-4\)

xét m \(\in\)[\(\sqrt{2}-4;-1\)) => A \(=\left(m+2\right)^2-\frac{1}{2}\)\(\le\left(\sqrt{2}-4+2\right)^2-\frac{1}{2}=\frac{11}{2}-4\sqrt{2}\)(A max khi m= \(\sqrt{2}-4\))

xét m \(\in\left(-5;\sqrt{2}-4\right)\)=> A= \(\frac{1}{2}-\left(m+2\right)^2\le\frac{1}{2}\)( A max khi m = -2)

mà \(\frac{11}{2}-4\sqrt{2}< \frac{1}{2}\)=> A max =\(\frac{1}{2}\) khi m = -2

phương trình 2x²+2(m+1)x+m²+4m+3 là phương trình bậc hai nên ta có:

 \(\Delta'=\left(m+1\right)^2-2\left(m^2+4m+3\right)\)

\(\Delta'=m^2+2m+1-2m^2-8m-6\)

\(\Delta'=-m^2-6m-5\)

vì PT có nghiệm x₁ và x₂ nên \(\Delta'\ge0\)  _{\(hay\)   \(-m^2-6m-5\ge0\Leftrightarrow m^2+6m+5\le0\)}

\(\Leftrightarrow\left(m+1\right)\left(m+5\right)\le0\Leftrightarrow-5\le m\le-1\)   \(\left(1\right)\)

Áp dụng định lí Vi - ét: \(\hept{\begin{cases}s=-m-1\\p=\frac{m^2+4m+3}{2}\end{cases}}\)

Ta có: A = |x₁.x₂ -2x₁-2x₂| = |p-2s| 

<=> A = \(|\frac{m^2+4m+3}{2}-2\left(-m-1\right)|\)

<=> A= \(\left|\frac{m^2+4m+3+4m+4}{4}\right|\)

<=> A= \(\frac{1}{2}\left|m^2+8m+7\right|\)

<=> A= \(\frac{1}{2}\left|\left(m+1\right)\left(m+7\right)\right|\)

xét tích (m+1)(m+7) ta có:  

Từ (1) \(-5\le m\le-1\Rightarrow\hept{\begin{cases}m+7\ge0\\m+1\le0\end{cases}}\)

=> \(\left(m+1\right)\left(m+7\right)\le0\)

Suy ra: |(m+1)(m+7)| = -(m+1)(m+7)

Khi đó: \(A=\frac{-1}{2}\left(m+1\right)\left(m+7\right)\)

\(A=\frac{-1}{2}\left(m^2+8m+7\right)=\frac{-1}{2}\left(m^2+8m+16-9\right)\)

\(A=\frac{-1}{2}\left[\left(m+4\right)^2-9\right]=\frac{9}{2}-\frac{\left(m+4\right)^2}{2}\le\frac{9}{2}\)

Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi m+4 =0 <=>m=-4   (thỏa mãn điều kiện (1) )

Vậy \(maxA=\frac{9}{2}\Leftrightarrow m=-4\)

điệu kiện \(\hept{\begin{cases}x\ge0\\2-x\ge0;3-x\ge0;5-x\ge0\end{cases}< =>0\le x\le2;}\)

ta có 2x = \(2\sqrt{2-x}\sqrt{3-x}+2\sqrt{3-x}\sqrt{5-x}+2\sqrt{5-x}\sqrt{2-x}\)

<=> 2x = \(\sqrt{2-x}\left(\sqrt{3-x}+\sqrt{5-x}\right)+\sqrt{3-x}\left(\sqrt{5-x}+\sqrt{2-x}\right)\)+\(\sqrt{5-x}\left(\sqrt{2-x}+\sqrt{3-x}\right)\)

<=> 2x = \(\sqrt{2-x}\left(x-\sqrt{2-x}\right)+\sqrt{3-x}\left(x-\sqrt{3-x}\right)+\sqrt{5-x}\left(x-\sqrt{5-x}\right)\)

<=> 2x = x (\(\sqrt{2-x}+\sqrt{3-x}+\sqrt{5-x}\)) - (2-x +3-x + 5-x) 

<=> 2x= x.x - 10 +3x <=> x²+x-10 = 0 <=> \(\orbr{\begin{cases}x=\frac{-1+\sqrt{41}}{2}\left(loai\right)\\x=\frac{-1-\sqrt{41}}{2}\left(loai\right)\end{cases}}\) cả 2 nghiệm đều không thỏa mãn \(0\le x\le2\)

=> phương trình vô nghiệm

ò khó quá vì mk mới hc lp 5 à

Ta sẽ chứng minh: \(ab\left(a-b\right)^2\le\frac{\left(a+b\right)^4}{16}\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2-6ab+b^2\right)^2\ge0\)(đúng)

Vậy ta có đpcm. Đẳng thức xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}a^2-6ab+b^2=0\\a+b=2\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a^2-6ab+b^2=0\\a^2+2ab+b^2=4\end{cases}}\Rightarrow ab=\frac{1}{2}\)

Từ đây ta có: \(\hept{\begin{cases}a+b=2\\ab=\frac{1}{2}\end{cases}}\). Theo hệ thức viet đảo, a, b là hai nghiệm của pt: \(t^2-2t+\frac{1}{2}=0\Leftrightarrow t=\frac{2+\sqrt{2}}{2}\text{hoặc }t=\frac{2-\sqrt{2}}{2}\)

Suy ra \(\left(a;b\right)=\left(\frac{2+\sqrt{2}}{2};\frac{2-\sqrt{2}}{2}\right)\) và các hoán vị của nó

P/s: Em ko chắc chỗ xét dấu đẳng thức đâu nhé!

2x+1 là số lẻ nên để 2x+1 là số chính phương thì số đó có dạng (2k+1)² (với k\(\in Z\))

2x+1= (2k+1)² (k\(\in Z\)) <=> x = 2k(k+1) (k\(\in Z\))