p chia 3 dư 1 => p²+2 chia hết cho 3 mà p² +2 là số nguyên tố => p²+2 =3 => p=1 => vô lý

p chia 3 dư 2 => p²+2 chia hết cho 3 => vô lý

p chia hết cho 3 mà p là số nguyên tố => p=3 => p²+2=11 (đúng) và p³+p²+1=37( đúng)

=> p=3

Ta có : \(ab+bc+ca=2abc\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=2\)

Đặt \(\hept{\begin{cases}x=\frac{1}{a}\\y=\frac{1}{b}\\z=\frac{1}{c}\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x+y+z=2\\P=\frac{x^3}{\left(2-x\right)^2}+\frac{y^3}{\left(2-y\right)^3}+\frac{z^3}{\left(2-z^2\right)}\end{cases}}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz 

\(\Rightarrow\frac{x^3}{\left(2-x\right)^2}+\frac{2-x}{8}+\frac{2-x}{8}\ge3\sqrt[3]{\frac{x^3}{64}}=\frac{3x}{4}\)

Tương tự ta có : \(\hept{\begin{cases}\frac{y^3}{\left(2-y\right)^2}+\frac{2-y}{8}+\frac{2-y}{8}\ge\frac{3y}{4}\\\frac{z^3}{\left(2-z\right)^2}+\frac{2-z}{8}+\frac{2-z}{8}\ge\frac{3z}{8}\end{cases}}\)

\(\Rightarrow P+\frac{12-2\left(x+y+z\right)}{8}\ge\frac{3}{4}\left(x+y+z\right)\)

\(\Rightarrow P\ge\frac{1}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\frac{2}{3}\)

\(7=\sqrt{3x^2-2x+15}+\sqrt{3x^2-2x+8}=\frac{\left(3x^2-2x+15\right)-\left(3x^2-2x+8\right)}{\sqrt{3x^2-2x+15}-\sqrt{3x^2-2x+8}}\\ \)

\(=\frac{7}{a-b}\)=> a-b = 1 và a+b=7

=> dễ dàng tìm x 

cầu xin CTV , top tiệc j vào júp e vs T_T

e lạy các a các chị xin hãy júp e

Do p là số nguyên tố > 3 nên có thể có 2 dạng là 3k+1 và 3k+2

TH1: p = 3k+1

\(a=3\left(3k+1\right)+2+2020\cdot\left(3k+1\right)^2\)

\(\equiv2+1\cdot\left(1\right)^2\equiv0\)(Mod 3)

-> a chia hết cho 3

TH2: p = 3k+2

\(a=3\left(3k+2\right)+2+2020\cdot\left(3k+2\right)^2\)

\(\equiv2+1\cdot2^2\equiv0\)(Mod 3)

-> a chia hết cho 3

Vậy a là hợp số

bn oi nhầm rồi

\(a=3n+2+2020p^2\) chứ ko phải \(a=3p+2+2020p^2\)

rưefdrgrtyh

\(y=x-4\sqrt{x}-1.\)

\(y=x-2\cdot2\sqrt{x}+2-2-1\)

\(y=\left(\sqrt{x}-2\right)^2-2-1\)

\(y=\left(\sqrt{x}-2\right)^2-3\)

có \(\left(\sqrt{x}-2\right)^2\ge0\)

\(\Rightarrow\left(\sqrt{x}-2\right)^2-3\ge-3\)

\(\Rightarrow GTNNy=-3\)

với \(\left(\sqrt{x}-2\right)^2=0;x=4\)

\(y=x-4\sqrt{x}-1\)

\(y=\left(\sqrt{x}\right)^2-2.\sqrt{x}.2+4-5\)

\(y=\left(\sqrt{x}-2\right)^2-5>5\)HOẶC=5

\(=>y_{min_{ }}=5< =>\sqrt{x}=2=>x=4\)

Áp dụng BĐT : \(\frac{1}{a+b}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\)

Ta có : 

\(\frac{ab}{c+1}=\frac{ab}{a+c+b+c}\le\frac{ab}{4}\left(\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c}\right)=\frac{ab}{4\left(a+c\right)}+\frac{ab}{4\left(b+c\right)}\)

Thiết lập tương tự và thu gọn lại ta có :
\(P\le\left[\frac{ab}{4\left(a+c\right)}+\frac{ab}{4\left(b+c\right)}+\frac{bc}{4\left(a+b\right)}+\frac{bc}{4\left(a+c\right)}+\frac{ac}{4\left(a+b\right)}+\frac{ac}{4\left(b+c\right)}\right]\)

\(\Leftrightarrow P\le\frac{ab+bc}{4\left(a+c\right)}+\frac{bc+ac}{4\left(a+b\right)}+\frac{ab+ac}{4\left(b+c\right)}\)

\(\Leftrightarrow P\le\frac{b\left(a+c\right)}{4\left(a+c\right)}+\frac{c\left(a+b\right)}{4\left(a+b\right)}+\frac{a\left(b+c\right)}{4\left(b+c\right)}=\frac{1}{4}\)

Vậy \(P_{max}=\frac{1}{4}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)

Chúc bạn học tốt !!!