K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

18 tháng 10 2019

1) đặt \(\sqrt{x-1}=a\left(a\ge0\right);\sqrt{y-4}=b\left(b\ge0;\right)\)

M = \(\frac{a}{a^2+1}+\frac{b}{b^2+4}\); a2 +1 \(\ge2a;b^2+4\ge4b\)=> M \(\le\frac{a}{2a}+\frac{b}{4b}=\frac{3}{4}\)

M đạt GTLN khi a=1, b=2 hay x=2; y= 8

2) <=> (x-y)2 + (x+2)2 =8 => (x+2)2\(\le8< =>\left|x+2\right|\le\sqrt{8}\approx2< =>-2\le x+2\le2< =>\)\(-4\le x\le0\)

x=-4 => (y+4)2 =4 <=> y = -2;y = -6

x=-3 => (y+3)2 = 7 (vô nghiệm); x=-1 => (y+1)2 =7 (vô nghiệm)

x=0 => y2 = 4 => y =2;  =-2

vậy có các nghiệm (x;y) = (-4;-2); (-4;-6); (0;-2); (0;2)

3) \(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{z^2}\ge2\frac{x}{z}\left(a^2+b^2\ge2ab\right)\); tương tự với các số còn lại ta được điều phải chứng minh

18 tháng 10 2019

3) sửa lại

áp dụng a2+b2+c2 \(\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\)

\(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{z^2}+\frac{z^2}{x^2}\ge\frac{\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\right)^2}{3}\ge\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\)(vì \(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\ge3\sqrt[3]{\frac{xyz}{yzx}}=3\))

dấu '=' khi x=y=z

17 tháng 10 2019

bạn vào link này tham khảo cách làm nha:

https://olm.vn/hoi-dap/detail/54645394832.html

7 tháng 5 2020

x-1 + x-3 =1 <=> 2x -4=1 tu giai not

17 tháng 10 2019

\(1,P=\frac{x+2}{x\sqrt{x}-1}+\frac{\sqrt{x}+1}{x+\sqrt{x}+1}-\frac{\sqrt{x}+1}{x-1}\)

\(=\frac{x+2}{x\sqrt{x}-1}+\frac{\sqrt{x}+1}{\left(x+\sqrt{x}+1\right)}-\frac{\sqrt{x}+1}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}\)

\(=\frac{x+2}{x\sqrt{x}-1}+\frac{\sqrt{x}+1}{\left(x+\sqrt{x}+1\right)}-\frac{1}{\sqrt{x}-1}\)

\(=\frac{x+2}{x\sqrt{x}-1}+\frac{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}{\left(x+\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}-\frac{x+\sqrt{x}+1}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(x+\sqrt{x}+1\right)}\)

\(=\frac{x+2+x-1-x-\sqrt{x}-1}{x\sqrt{x}-1}\)

\(=\frac{x-\sqrt{x}}{x\sqrt{x}-1}\)

\(=\frac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(x+\sqrt{x}+1\right)}\)

\(=\frac{\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}+1}\)

17 tháng 10 2019

\(A=\frac{x+\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+1}ĐKXĐ:x\ge0\)

\(\Rightarrow A=\frac{2+\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}+1}=\frac{3+\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}}=2\sqrt{2}-1\)

\(B=\frac{1}{\sqrt{x}-1}-\frac{x+2}{x\sqrt{x}-1}-\frac{\sqrt{x}+1}{x+\sqrt{x}+1}\)

\(=\frac{x+\sqrt{x}+1}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(x+\sqrt{x}+1\right)}-\frac{x+2}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(x+\sqrt{x}+1\right)}-\frac{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(x+\sqrt{x}+1\right)}\)

\(=\frac{x+\sqrt{x}+1-x-2-x+1}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(x+\sqrt{x}+1\right)}\)

\(=\frac{\sqrt{x}-x}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(x+\sqrt{x}+1\right)}\)

\(=\frac{\left(1-\sqrt{x}\right)\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(x+\sqrt{x}+1\right)}\)

\(=\frac{-\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}+1}\)

17 tháng 10 2019

\(C=-A.B=-\frac{x+\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+1}\cdot\frac{-\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}+1}=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}\)

\(=\frac{\sqrt{x}+1-1}{\sqrt{x}+1}=1-\frac{1}{\sqrt{x}+1}\)

\(ĐểC\in Z\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{x}+1}\in Z\)

\(\Rightarrow\sqrt{x}+1\in\left\{1\right\}=\left\{1;-1\right\}\)

\(\Leftrightarrow x\in\left\{0\right\}\)

Kết hợp ĐKXĐ =>...

17 tháng 10 2019

\(\frac{x}{x+yz}+\frac{y}{y+zx}+\frac{z}{z+xy}=\frac{x}{x\left(x+y+z\right)+yz}+\frac{y}{y\left(x+y+z\right)+zx}+\frac{z}{z\left(x+y+z\right)+xy}\)

\(=\text{Σ}\frac{x}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}=\frac{2\left(xy+yz+xz\right)}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)}\)(1)

+) CM bổ đề (cái này khá hữu dụng): \(\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+xz\right)\ge3\sqrt[3]{xyz}\cdot3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}=9xyz\Leftrightarrow\frac{1}{9}\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+xz\right)\ge xyz\)

Có \(\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)=\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+xz\right)-xyz\ge\frac{8}{9}\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+xz\right)\)

Thay vào (1)-> DPCM

Dấu = xảy ra khi x=y=z=1/3

17 tháng 10 2019

Thx HD film