Ta có : \(a^2+b^2\ge ab+1\)

\(2\sqrt{a^2b^2}\ge ab+1\)

\(ab\ge1\)

Dấu = xảy ra \(< =>a=b=\sqrt{1}=1\)

Bđt ngược dấu rồi thì phải

Đưa phương trình trên về dạng (x-2y+3)^2+(y+2)^2\(\le0\)

Giải và tìm được x=-7 ; y=-2

Kết luận nghiệm x=-7 và y=-2

Đổi 40 phút = 2/3 giờ

Gọi khoảng cách hai bến A và B là x (km, x > 0)

Vận tốc dòng sông trong 1 giờ là: 6 : 2 = 3 (km/h)

Vận tốc thực của ca nô là: 36 - 3 = 33 (km/h)

Vận tốc ngược dòng của ca nô là: 33 - 3 = 30 (km/h)

Thời gian ca nô xuôi dòng từ A đến B là: \(\frac{x}{36}\) (h)

Thời gian ca nô ngược dòng từ B trở về A là: \(\frac{x}{30}\) (h)

Theo bài ra, ta có phương trình: \(\frac{x}{30}-\frac{x}{36}=\frac{2}{3}\)

\(\Leftrightarrow x\left(\frac{1}{30}-\frac{1}{36}\right)=\frac{2}{3}\) \(\Leftrightarrow\frac{1}{180}x=\frac{2}{3}\) \(\Leftrightarrow x=\frac{2}{3}\div\frac{1}{180}\)\(\Leftrightarrow x=120\) (thỏa mãn)

Vậy khoảng cách hai bến A và B là 120 km

Vận tốc dòng nước là: 6 : 2 = 3 ( km/h) 

Vận tốc thực của ca nô là:  36 - 3 = 33 ( km/h) 

Vận tốc ngược dòng là: 33 - 3 = 30 ( km/h) 

Đổi 40 phút = 2/3 ( giờ ) 

Gọi thời gian đi xuôi dòng là: x ( x > 0; giờ ) 

Thời gian đi ngược dòng là: x + 2/3 ( giờ ) 

Quãng đường AB là: 33 x ( km) 

Quãng đường BA là: 30 ( x + 2/3 ) ( km) 

Vì quãng đường không đổi nên ta có phương trình

36x = 30 (x +2/3) 

<=> 6x = 20 

<=> x = 20/6 ( giờ ) 

Khoảng cách AB là: 36x = 36 .20/6 = 120 (km)

a) \(A=\frac{1}{y-1}-\frac{y}{1-y^2}\left(y\ne\pm1\right)\)

\(\Leftrightarrow A=\frac{1}{y-1}+\frac{y}{\left(y-1\right)\left(y+1\right)}=\frac{y+1}{\left(y-1\right)\left(y+1\right)}+\frac{y}{\left(y-1\right)\left(y+1\right)}=\frac{2y+1}{\left(y-1\right)\left(y+1\right)}\)

Thay y=2 (tm) vao A ta co:

\(A=\frac{2\cdot2+1}{\left(2-1\right)\left(2+1\right)}=\frac{5}{3}\)

Vay \(A=\frac{5}{3}\)voi y=2

b) Ta co: \(\hept{\begin{cases}A=\frac{2y+1}{\left(y-1\right)\left(y+1\right)}\left(y\ne\pm1\right)\\B=\frac{y^2-y}{2y+1}=\frac{y\left(y-1\right)}{2y+1}\left(y\ne\frac{-1}{2}\right)\end{cases}}\)

\(\Rightarrow M=\frac{2y+1}{\left(y-1\right)\left(y+1\right)}\cdot\frac{y\left(y-1\right)}{2y+1}=\frac{\left(2y+1\right)\cdot y\cdot\left(y-1\right)}{\left(y-1\right)\left(y+1\right)\left(2y+1\right)}=\frac{y}{y+1}\)

Áp dụng bđt AM-GM ta có

\(abc\le\left(\frac{a+b+c}{3}\right)^3=1\)

\(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{a^2b^2c^2}}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{a^3b^3c^3}}=\frac{3}{abc}\)

Ta chứng minh: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\le\frac{3}{abc}\)

\(\Leftrightarrow\frac{ab+bc+ca}{abc}\le\frac{3}{abc}\)

\(\Leftrightarrow ab+bc+ca\le3=\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\)(luôn đúng)

Vậy bđt được chứng minh

Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=1

Dòng thứ 3 của Linh bị ngược dấu rồi. 

Chứng minh các khác: 

Có: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}=3\)  (@)

\(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\ge\frac{\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2}{3}\)(1)

Ta chứng minh: \(\frac{\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2}{3}\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)(2)

<=> \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge3\)đúng theo (@) 

=> (2) đúng 

Từ (1) ; (2) => \(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)

Dấu "=" xảy ra <=> a = b = c = 1.

Do x khác 0, chia cả hai vế cho x², ta được :

A = \(\frac{1}{x^2+1+\frac{1}{x^2}}=\frac{1}{\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)+1}\)

Áp dụng bđt cosi cho 2 số dương x² và 1/x² (x khác 0)

Ta có: x² + 1/x² \(\ge2\sqrt{x^2\cdot\frac{1}{x^2}}=2\)

=> \(\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)+1\ge3\)

=> \(\frac{1}{\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)+1}\le\frac{1}{3}\)

Dấu "=" xảy ra <=> x² = 1/x² => x⁴ = 1 => \(\orbr{\begin{cases}x=1\\x=-1\end{cases}}\)

Vậy MaxA = 1/3 khi x = 1 hoặc x = -1

Chia cả tử và mẫu cho x²
ta được 1/(x^2+1+1:x^2)
ta dùng định lý cô sin vào x^2+1:x^2
ta có x^2+1:x^2 ≥ 2 √ x^2.1/x^2
suy ra x^2+1:x^2 ≥ 2suy ra
x^2+1+1:x^2≥ 3
suy ra 1/(x^2+1+1:x^2) ≤ 1/3
vậy max = 1/3