Chứng minh bằng cách phản chứng

Giả sử tồn tại số nguyên tố p thõa mãn

Đặt 3^p + 19 ( p - 1 ) = n² ( n là một số nguyên )

* Nếu p = 2, 3 dễ thấy không có số số nguyên n nào thõa mãn

* Nếu p > 3 , p lẻ

+ ) p = 4k + 1

Ta có : 3 ≡ - 1 ( mod4 )

nên 3^p ≡ - 1 ( mod4 )

và 19 ≡ 3 ( mod4 ) ; p - 1 ≡ 0 ( mod4 )

Do đó VT  ≡ VP ≡ - 1 ( mod4 ) ( vô lí )

+ ) p = 4k + 3

Theo định lí Fermat ta có :

3^p  ≡ 3 ( modp )

và 19 ( p - 1 ) ≡ - 19 ( modp )

nên VT ≡ - 16 ( modp )

Do đó n² + 16 \(⋮\) p

Từ đề ta có 4 \(⋮\) p ( vô lí vì 4 không có ước dạng 4k + 3 )

Vậy ta có đpcm

Gỉa sử tồn tại số nguyên p thỏa mãn 

Đặt \(3^p+19\left(p-1\right)=n^2\)( n là 1 số nguyên )

* Nếu p=2,3 . Dễ có ko có số nguyên n nào thỏa mãn 

* Nếu p>3 , p lẻ 

+) p=4k +1

Ta có 

\(3=-1\left(modA\right)\)

nên : \(3^p=-1\left(modA\right)\)

Mà \(19\equiv3\left(modA\right);p-1\equiv0\left(modA\right)\)

Do đó : \(VT\equiv VP\equiv-1\left(modA\right)\)( vô lí )

+) p=4k+3

Theo định lí Fermat ta có 

\(3^p=3\left(modp\right)\)

và \(19\left(p-1\right)\equiv-19\left(modp\right)\)

nên \(VT\equiv-16\left(modp\right)\)

Do đó : \(n^2+16⋮p\)

-> Ta có : \(4⋮b\)( vô lí )

Vậy ta có đpcm 

Bài này cần chú ý: \(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}-3=\frac{\left(a-b\right)^2}{ab}+\frac{\left(a-c\right)\left(b-c\right)}{ac}\)

Và \(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}-\frac{3}{2}=\frac{\left(a-b\right)^2}{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}+\frac{\left(a+b+2c\right)\left(a-c\right)\left(b-c\right)}{2\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\)

Thêm 3 vào 2 vế ta cần chứng minh:

\(\frac{2}{1-a}+\frac{2}{1-b}+\frac{2}{1-c}\le2\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{3}{2}\right)\)

\(\Leftrightarrow\frac{a+b+c}{a+b}+\frac{a+b+c}{b+c}+\frac{a+b+c}{c+a}\le\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{3}{2}\) (chia hai vế cho 2 và chú ý 1 =a + b + c)

\(\Leftrightarrow\frac{3}{2}+\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\le\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\)

\(\Leftrightarrow\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}-\frac{3}{2}\le\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}-3\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(a-b\right)^2}{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}+\frac{\left(a+b+2c\right)\left(a-c\right)\left(b-c\right)}{2\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\le\frac{\left(a-b\right)^2}{ab}+\frac{\left(a-c\right)\left(b-c\right)}{ac}\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(\frac{1}{ab}-\frac{1}{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}\right)+\left(\frac{1}{ac}-\frac{a+b+2c}{2\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\right)\left(a-c\right)\left(b-c\right)\ge0\)

Quy đồng mỗi cái ngoặc to phía sau là thấy nó > 0:D

Giả sử c = min{a,b,c} như vậy (a-c)(b-c)\(\ge0\) chúng ta có đpcm.

Is that true?

WLOG \(b=mid\left\{a,b,c\right\}\). Áp dụng một bổ đề trong một bài giải của alibaba nguyễn trong câu hỏi của Neet ở học 24. Mọi người có thể tự chứng minh để nhớ lâu hoặc ai cần có thể hỏi ổng

\(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\ge\frac{a+b}{b+c}+\frac{b+c}{a+b}+1\) với a,b,c>0

Khi đó ta cần chứng minh \(2\left(\frac{a+b}{b+c}+\frac{b+c}{a+b}\right)+2\ge\frac{2a+b+c}{b+c}+\frac{2b+c+a}{c+a}+\frac{2c+a+b}{a+b}\)

\(\Leftrightarrow\frac{a+b}{b+c}+\frac{b+c}{a+b}-\frac{1}{2}\ge\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\)

\(\Leftrightarrow\frac{b}{b+c}+\frac{b}{a+b}-\frac{1}{2}\ge\frac{b}{c+a}\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(a+c+2b\right)}{2\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\ge0\)*đúng với \(b=mid\left\{a,b,c\right\}\)*

ĐK: ....

Có: \(\frac{\left(\frac{1}{\sqrt{y}}+\sqrt{2-\frac{1}{y}}\right)^2}{2}\le\frac{1}{y}+2-\frac{1}{y}=2\)

=> \(\frac{1}{\sqrt{y}}+\sqrt{2-\frac{1}{y}}\le2\)

Có: \(\frac{\left(\frac{1}{\sqrt{x}}+\sqrt{2-\frac{1}{x}}\right)^2}{2}\le\frac{1}{x}+2-\frac{1}{x}=2\)

=> \(\frac{1}{\sqrt{x}}+\sqrt{2-\frac{1}{x}}\le2\)

=> \(\frac{1}{\sqrt{x}}+\sqrt{2-\frac{1}{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}+\sqrt{2-\frac{1}{y}}\le4\) (1) 

Cộng vế vs vế của hệ pt  ta có phương trình:

\(\frac{1}{\sqrt{x}}+\sqrt{2-\frac{1}{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}+\sqrt{2-\frac{1}{y}}=4\) (2)

Từ ( 1) ( 2) ta có : \(\hept{\begin{cases}\frac{1}{\sqrt{x}}=\sqrt{2-\frac{1}{x}}\\\frac{1}{\sqrt{y}}=\sqrt{2-\frac{1}{y}}\end{cases}}\) => x; y

Lấy pt đầu trừ pt dưới, về với vế và phân tích thành nhân tử.

bài này mình nhớ làm khá nhiều ở cả olm và học 24 rồi. Mà chắc nó ko hiện câu hỏi tương tự  nên làm lại 

\(\left(\frac{1}{x},\frac{1}{y},\frac{1}{z}\right)\rightarrow\left(a,b,c\right)\). Khi đó cần cm \(\frac{2a}{\sqrt{a^2+1}}+\frac{b}{\sqrt{b^2+1}}+\frac{c}{\sqrt{c^2+1}}\le\frac{9}{4}\) với ab+bc+ca=1

\(VT=\)\(\frac{2a}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}+\frac{b}{\sqrt{\left(b+c\right)\left(a+b\right)}}+\frac{c}{\sqrt{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}}\)

\(=\sqrt{\frac{2a}{a+b}\cdot\frac{2a}{a+c}}+\sqrt{\frac{2b}{a+b}\cdot\frac{b}{2\left(b+c\right)}}+\sqrt{\frac{2c}{a+c}\cdot\frac{c}{2\left(b+c\right)}}\)

\(\le\frac{\frac{2a}{a+b}+\frac{2b}{a+b}+\frac{2a}{a+c}+\frac{2c}{a+c}+\frac{b}{2\left(b+c\right)}+\frac{c}{2\left(b+c\right)}}{2}=\frac{9}{4}\)

Đổi ẩn là ra ah.

\(\left(x,y,z\right)=\left(\frac{1}{a},\frac{1}{b},\frac{1}{c}\right)\)

Đặt: \(a=\frac{2}{1-\sqrt[3]{2}}\)

<=> \(\left(1-\sqrt[3]{2}\right)a=2\)

<=> \(a-2=\sqrt[3]{2}a\)

<=> \(\left(a-2\right)^3=\left(\sqrt[3]{2}a\right)^3\)

<=> \(a^3-6a^2+12a-8=2a^3\)

<=> \(a^3+6a^2-12a+8=0\)

Vậy phương trình ẩn x cần tìm là: \(x^3+6x^2-12x+8=0\)