Bớt 6 ở hai vế BĐT cần chứng minh tương đương:

\(\frac{\left(8c-a-b\right)\left(a-b\right)^2+\left(a+b\right)\left(a+b-2c\right)^2}{4abc}\le\frac{\left(7a+7b-2c\right)\left(a-b\right)^2+\left(a+b+2c\right)\left(a+b-2c\right)^2}{2\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{2}\left(a-b\right)^2\left[\frac{7a+7b-2c}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}-\frac{8c-a-b}{2abc}\right]+\frac{1}{2}\left(a+b-2c\right)^2\left[\frac{a+b+2c}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}-\frac{a+b}{2abc}\right]\ge0\)

Tới phần khó chừa lại cho bạn:V

x,y là số nguyên tố đúng ko?

ĐK \(-1\le x\le7\)

Ta có \(VT=x^2-6x+13=\left(x-3\right)^2+4\ge4\)(1)

\(2VP=\sqrt{4\left(7-x\right)}+\sqrt{4\left(x+1\right)}\le\frac{4+7-x+4+1+x}{2}=8\)

=> \(VP\le4\)(2)

Từ (1);(2)

=> đẳng thức xảy ra khi x=3(tm ĐKXĐ)

Vậy x=3

biến đổi tương đương thôi , EZ !

\(BĐT< =>\frac{a\left(c+1\right)}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)}+\frac{b\left(a+1\right)}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)}+\frac{c\left(b+1\right)}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)}\ge\frac{3}{4}\)

\(< =>\frac{a\left(c+1\right)+b\left(a+1\right)+c\left(b+1\right)}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)}\ge\frac{3}{4}\)

\(< =>\frac{ab+bc+ca+a+b+c}{ab+bc+ca+a+b+c+1+abc}\ge\frac{3}{4}\)

\(< =>4\left(ab+bc+ca+a+b+c\right)\ge3\left(ab+bc+ca+a+b+c\right)+6\)

\(< =>ab+bc+ca+a+b+c\ge6\)

Theo đánh giá của Bất đẳng thức Cauchy thì :

\(ab+bc+ca\ge3\sqrt[3]{abbcca}=3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}\)

\(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\)

Vậy Bất đẳng thức được hoàn tất chứng minh 

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c\)

x,y là số  nguyên tố đúng ko? bn có nhiueeuf câu hỏi nên mik trả lời nhầm.(ko phait thì thui nhé)

\(\left(3x^2+6x+3\right)+\left(3y^2+3y+1\right)+y^2-8=0\)

\(\Leftrightarrow3\left(x+1\right)^2+3\left(y+\frac{1}{2}\right)^2-\frac{9}{4}-8=0\)

\(\Leftrightarrow12\left(x+1\right)^2+3\left(y+1\right)^2=41\)

\(\Rightarrow12\left(x+1\right)^2\le41\Rightarrow\left(x+1\right)^2\le3\Rightarrow x+1\in\left\{1;0;-1\right\}\Rightarrow x\in\left\{0;-1;-2\right\}\)

Bạn làm nốt

thanh niên này chắc VIP dài quá:))

** Max 

\(A^2=\left(\sqrt{x+y}\cdot1+\sqrt{y+z}\cdot1+\sqrt{z+x}\cdot1\right)^2\)

Theo bunhia ta có:

\(A^2\le\left(1+1+1\right)\left(x+y+y+z+z+x\right)=6\Rightarrow A\le\sqrt{6}\) tại \(x=y=z=\frac{1}{3}\)

*** Min

Giả sử \(1\ge y\ge x\ge z\)

Ta có:

\(\sqrt{x+y}+\sqrt{y+z}\ge\sqrt{y}+\sqrt{x+y+z}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}\ge\sqrt{y\left(x+y+z\right)}\)

\(\Leftrightarrow xz=0\)

Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=0\\z=0\end{cases}}\)

Mặt khác:

\(\sqrt{y}+\sqrt{z+x}\ge\sqrt{x+y+z}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{y\left(z+x\right)}=0\)

Đẳng thức xảy ra \(\orbr{\begin{cases}y=0\\z+x=0\end{cases}}\)

Kết hợp 2 dấu đẳng thức xảy ra thì \(x=z=0;y=1\)

Khi đó 

\(A=\sqrt{x+y}+\sqrt{y+z}+\sqrt{z+x}\)

\(\ge\sqrt{x+y+z}+\sqrt{x+y+z}=2\sqrt{x+y+z}=2\)

Dấu "=" xảy ra tại \(\left(x;y;z\right)=\left(0;1;0\right)\) và các hoán vị.

Em có cách này cho phần min nhưng không chắc lắm..

Min:

Giả sử \(x\ge y\ge z\)

\(A=\sqrt{2\left(x+y+z\right)+2\Sigma_{cyc}\sqrt{\left(x+y\right)\left(z+y\right)}}\) (bình phương lên rồi lấy căn:v)

\(\ge\sqrt{2\left(x+y+z\right)+2\Sigma_{cyc}\left(\sqrt{xz}+y\right)}\)

\(=\sqrt{4\left(x+y+z\right)+2\left(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\right)}\ge\sqrt{4\left(x+y+z\right)}=2\)

Đẳng thức xảy ra khi \(\left(x;y;z\right)=\left(1;0;0\right)\) và các hoán vị.