\(M=\frac{1}{16x^2}+\frac{1}{4y^2}+\frac{1}{z^2}=\left(x^2+y^2+z^2\right)\left(\frac{1}{16x^2}+\frac{1}{4y^2}+\frac{1}{z^2}\right)\)

Áp dụng BĐT Bunhicopxki ta có :

\(\left(x^2+y^2+z^2\right)\left(\frac{1}{16x^2}+\frac{1}{4y^2}+\frac{1}{z^2}\right)\ge\left(x.\frac{1}{4x}+y.\frac{1}{2y}+z.\frac{1}{z}\right)^2=\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{2}+1\right)^2\)

\(=\frac{49}{16}\)

Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow x=\sqrt{\frac{1}{7}};y=\sqrt{\frac{2}{7}};z=\sqrt{\frac{4}{7}}\)

\(VT=3\left(9x^2-12x+4\right)+\frac{8x}{1-x}=27x^2-36x+12+\frac{8x}{1-x}\)

\(=27x^2-36x+4+\frac{8}{1-x}=27x^2-18x-6+8\left(1-x\right)+\frac{8}{1-x}\)

\(=27x^2-18x+3+8\left(1-x\right)+\frac{8}{1-x}-9\)

\(=3\left(3x-1\right)^2+8\left(1-x\right)+\frac{8}{1-x}-9\)

\(\Rightarrow VT\ge2\sqrt{8^2}-9=7\)

Dấu " = " xảy ra khi \(x=\frac{1}{3}\)

a) A=\(\frac{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}{\sqrt{x}-1}+\frac{\left(\sqrt{x}+1\right)^2}{\sqrt{x}+1}\)
A=\(\left(\sqrt{x}+1\right)+\left(\sqrt{x}+1\right)\)
A=\(2\left(\sqrt{x}+1\right)\)
b) Để A có giá trị bằng 6 thì :   
\(2\left(\sqrt{x}+1\right)=6\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{x}+1=3\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{x}=2\)
\(\Leftrightarrow x=4\)

bài 1:

\(P=\left(2+\frac{a+\sqrt{a}}{\sqrt{a}+1}\right)\cdot\left(2-\frac{a-\sqrt{a}}{\sqrt{a}-1}\right)\)

a) Tìm điều kiện xac định của P

b)Rút gọn P

c) Với giá trị nào của a thì P có giá trị bằng \(\sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{1+\sqrt{2}}}\)

Bài 2:

\(P=\frac{x\sqrt{x}-8}{x+2\sqrt{x}+4}+3\cdot\left(1-\sqrt{x}\right)\)với \(x\ge0\)

a) Rút gọn biểu thức P

b) Tìm các giá trị nguyên dương của x để biểu thức \(Q=\frac{2P}{1-P}\) nhận giá trị nguyên

Bài 3:

\(P\left(x\right)=\frac{x-2\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}\cdot\left(\frac{x+\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}+1\right)\) với \(x\ge0,x\ne1\)

a) Rút gọn biểu thức P(x)

b) Tìm x để: \(2x^2+P\left(x\right)\le0\)

CÁC BẠN LÀM ĐỰƠC BÀI NÀO THÌ LÀM GIÚP MÌNH VỚI Ạ . CẢM ƠN TRƯỚC NHA!!

Ta có: \(\frac{a^2+ab+1}{\sqrt{a^2+3ab+c^2}}=\frac{a^2+ab+1}{\sqrt{a^2+ab+2ab+c^2}}\ge\frac{a^2+ab+1}{\sqrt{a^2+ab+a^2+b^2+c^2}}=\sqrt{a^2+ab+1}\)

\(\sqrt{a^2+ab+1}=\sqrt{a^2+ab+a^2+b^2+c^2}=\sqrt{\left(a+\frac{b}{2}\right)^2+\frac{3}{4}b^2+a^2+c^2}\)

\(=\frac{1}{\sqrt{5}}.\sqrt{\left(\frac{9}{4}+\frac{3}{4}+1+1\right)\left(\left(a+\frac{b}{2}\right)^2+\frac{3}{4}b^2+a^2+c^2\right)}\)

\(\ge\frac{1}{\sqrt{5}}\sqrt{\left(\frac{3}{2}\left(a+\frac{b}{2}\right)+\frac{3}{2}b+a+c\right)^2}\)

\(=\frac{1}{\sqrt{5}}\left(\frac{5}{2}a+\frac{3}{2}b+c\right)\)

=> \(\frac{a^2+ab+1}{\sqrt{a^2+3ab+c^2}}\ge\frac{1}{\sqrt{5}}\left(\frac{5}{2}a+\frac{3}{2}b+c\right)\)

Tương tự ta cũng chứng minh đc:

 \(\frac{b^2+bc+1}{\sqrt{b^2+3bc+a^2}}\ge\frac{1}{\sqrt{5}}\left(\frac{5}{2}b+\frac{3}{2}c+a\right)\)

\(\frac{c^2+ca+1}{\sqrt{c^2+3ca+b^2}}\ge\frac{1}{\sqrt{5}}\left(\frac{5}{2}c+\frac{3}{2}a+b\right)\)

=> \(\frac{a^2+ab+1}{\sqrt{a^2+3ab+c^2}}+\frac{b^2+bc+1}{\sqrt{b^2+3bc+a^2}}+\frac{c^2+ca+1}{\sqrt{c^3+3ca+b^2}}\ge\frac{1}{\sqrt{5}}\left(5a+5b+5c\right)\)

\(=\sqrt{5}\left(a+b+c\right)\)

Dấu "=" xảy ra <=> a = b = c =\(\frac{1}{\sqrt{3}}\)

Ta xử lí mẫu trước, đặt \(a=\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{5}}\)

\(\Leftrightarrow a^3=\left(\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}\right)^3+\left(\sqrt[3]{2-\sqrt{5}}\right)^3+3\sqrt[3]{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2-\sqrt{5}\right)}\left(\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{5}}\right)\)

\(\Leftrightarrow a^3=4-3a\)

\(\Leftrightarrow a^3+3a-4=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)\left(a^2+a+4\right)=0\)

\(\Rightarrow a=1\)

Vậy \(P=\frac{2019}{a}=2019\)

\(A\le\frac{1}{27}\left(\sqrt{4a+1}+\sqrt{4b+1}+\sqrt{4c+1}\right)^3\)

Mặt khác :

\(\sqrt{4a+1}+\sqrt{4b+1}+\sqrt{4c+1}\le\sqrt{3\left[4\left(a+b+c\right)+3\right]}\)

\(=3\sqrt{5}\)

\(\Rightarrow A\le\frac{1}{27}\left(3\sqrt{5}\right)^3=5\sqrt{5}\)

Dấu " = " xảy ra khi \(a=b=c=1\)

hay