x²-2x+1=(x-1)² >= 0 => x²-2x+3 >= 2 với mọi x thuộc R (1)

y²+6y+9=(y+3)² >=0 => y²+6y+12 >=3 với mọi y thuộc R (2)

M=xy(x-2)(y+6)-12x²-24x+3y²+18y+2050

=(x²-2x)(y²+6y)+12(x²-2x)+3(y²+6y)+36+2014

=(x²-2x)(y²+6y+12)+3(y²+6y+12)+2014

=(x²-2x+3)(y²+6y+12)+2014 (3)

từ (1); (2) và (3) => B >= 2.3+2014 => B >= 2020

dấu "=" xảy ra <=> x=1 và y=-3

vậy minM=2020 khi x=1; y=-3

Sửa đề + bài làm:

a) \(-2x^2-3x+5=-2\left(x^2+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}\right)+\frac{49}{8}\)

\(=-2\left(x+\frac{3}{4}\right)^2+\frac{49}{8}\le\frac{49}{8}\left(\forall x\right)\)

Dấu "=" xảy ra khi: \(\left(x+\frac{3}{4}\right)^2=0\Rightarrow x=-\frac{3}{4}\)

Vậy GTLN của biểu thức bằng \(\frac{49}{8}\)khi \(x=-\frac{3}{4}\)

b) \(\left(2-x\right)\left(x+4\right)=-x^2-2x+8=-\left(x^2+2x+1\right)+9\)

\(=-\left(x+1\right)^2+9\le9\left(\forall x\right)\)

Dấu "=" xảy ra khi: \(\left(x+1\right)^2=0\Rightarrow x=-1\)

Vậy GTLN của biểu thức bằng 9 khi x = -1

a) Sửa -2x² - 3x + 5 

= -2( x² + 3/2x + 9/16 ) + 49/8

= -2( x + 3/4 )² + 49/8

( x + 3/4 )² ≥ 0 ∀ x => -2( x + 3/4 )² ≤ 0 ∀ x

=> -2( x + 3/4 )² + 49/8 ≤ 49/8 ∀ x

Dấu = xảy ra <=> x + 3/4 = 0 => x = -3/4

Vậy GTLN của biểu thức = 49/8 khi x = -3/4

b) ( 2 - x )( x + 4 ) = -x² - 2x + 8 = -x² - 2x - 1 + 9

                                                   = -( x² + 2x + 1 ) + 9

                                                   = -( x + 1 )² + 9 

( x + 1 )² ≥ 0 ∀ x => -( x + 1 )² ≤ 0 ∀ x

=> -( x + 1 )² + 9 ≤ 9 ∀ x

Dấu = xảy ra <=> x + 1 = 0 => x = -1

Vậy GTLN của biểu thức = 9 khi x = -1

Biến đổi: (c-a) thành: -[(b-c)+(a-b)]

Thấy xuất hiện nhân tử chung r thì ... phân tích tiếp, ko khó lắm.

\(a\left(b+c\right)^2\left(b-c\right)+b\left(c+a\right)^2\left(c-a\right)+c\left(a+b\right)^2\left(a-b\right)\)

\(=\left(b-c\right)\left[a\left(b+c\right)^2-b\left(c+a\right)^2\right]-\left(a-b\right)\left[b\left(c+a\right)^2-c\left(a+b\right)^2\right]\)

\(=\left(b-c\right)\left(ab^2+ac^2-bc^2-ba^2\right)-\left(a-b\right)\left(bc^2+ba^2-ca^2-ab^2\right)\)

\(=\left(b-c\right)\left(a-b\right)\left(c^2-ab\right)-\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(a^2-bc\right)\)

\(=\left(b-c\right)\left(a-b\right)\left(c^2-ab-a^2+bc\right)\)

\(=\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)\left(a+b+c\right)\)

Bài làm:

đk: \(x\left|x\left(x+1\right)\right|\ge0\), mà \(\left|x\left(x+1\right)\right|\ge0\Rightarrow x\ge0\)

Từ đó ta có thể phá dấu giá trị tuyệt đối

\(Pt\Leftrightarrow x+1=x\left[x\left(x+1\right)\right]\)

\(\Leftrightarrow x+1=x^3+x^2\)

\(\Leftrightarrow x^3+x^2-x-1=0\)

\(\Leftrightarrow x^2\left(x+1\right)-\left(x+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)\left(x^2-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x+1=0\\x^2-1=0\end{cases}\Leftrightarrow}\orbr{\begin{cases}x=-1\\x^2=1\end{cases}\Leftrightarrow}\orbr{\begin{cases}x=-1\\x=1\end{cases}}\)

Mà \(x\ge0\)\(\Rightarrow x=1\)

Vậy tập nghiệm của PT \(S=\left\{1\right\}\)

Sai thì bỏ qua nha!

À trường hợp \(x=-1\)sau khi thử lại vẫn thỏa mãn nhé, lm hơi nhầm tí

giả sử a+b+c=k>0; đặt a=kx; b=ky; c=kz => x;y;z>0 và x+y+z=1

khi đó P=k\(\left[\frac{k\left(3x-y\right)}{k^2\left(x^2+xy\right)}+\frac{k\left(3y-z\right)}{k^2\left(y^2+yz\right)}+\frac{k\left(3z-x\right)}{k^2\left(z^2+zx\right)}\right]=\frac{3x-y}{x^2+xy}+\frac{3y-z}{x^2+xy}+\frac{3z-x}{z^2+zx}\)

\(=\frac{4x-\left(x+y\right)}{x\left(x+y\right)}+\frac{4y-\left(y+z\right)}{y\left(y+z\right)}+\frac{4z-\left(z+x\right)}{z\left(z+x\right)}=\frac{4}{x+y}-\frac{1}{x}+\frac{4}{y+z}-\frac{1}{y}+\frac{4}{z+x}-\frac{1}{z}\)

\(=\frac{4}{1-z}-\frac{1}{x}+\frac{1}{1-x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{1-y}+\frac{1}{z}=\frac{5x-1}{x-x^2}+\frac{5y-1}{y-y^2}+\frac{5z-1}{z-z^2}\)

do a,b,c là 3 cạnh của 1 tam giác => b+c>a =>y+z>x => 1-x>x

=> x<1_/2 tức là a\(\in\left(0;\frac{1}{2}\right)\)tương tự ta cũng có: \(y;z\in\left(0;\frac{1}{2}\right)\)

ta sẽ chứng minh \(\frac{5t-1}{t-t^2}\le18t-3\)(*) đúng với mọi \(\in\left(0;\frac{1}{2}\right)\)

thật vậy (*) \(\Leftrightarrow\frac{5t-1}{t-t^2}-18t+3\le0\Leftrightarrow\frac{18t-21t^2+8t-1}{t-t^2}\le0\Leftrightarrow\frac{\left(2t-1\right)\left(3t-1\right)^2}{t\left(t-1\right)}\le0\)(**)

(**) hiển nhiên đúng với mọi \(t\in\left(0;\frac{1}{2}\right)\)do đó (*) đúng với mọi \(t\in\left(0;\frac{1}{2}\right)\)

áp dụng (*) ta được \(P\le18x-3+18y-3=18\left(x+y+z\right)-9=9\)

dấu "=" xảy ra <=> x=y=z=1/₃ <=> a=b=c

@Hai Ngox: Sao phải giả sử a +  b + c = k > 0 vậy bạn? Vì a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác thì đó là hiển nhiên.

Ngoài ra:

Nó tương đương với \(\Sigma c^2\left(b+c\right)\left(a+c\right)\left(a-b\right)^2\ge0\) (1)

Hoặc \(\Sigma a^4\left(b-c\right)^2+\frac{1}{3}\left(ab+bc+ca\right)\Sigma\left(2ab-bc-ca\right)^2\ge0\) (2)

Nhận xét. Phân tích (2) cho ta thấy, bất đẳng thức \(\left(a+b+c\right)\left(\frac{3a-b}{a^2+ab}+\frac{3b-c}{b^2+bc}+\frac{3c-a}{c^2+ca}\right)\le9\)

đúng với mọi a, b, c là số thực thỏa mãn \(ab+bc+ca\ge0.\)

A = x(2x - 3) + 2x^2(x - 2) - 2x(x^2 - x + 1) + 5(x - 1)

A = 2x^2 - 3x + 2x^3 - 4x^2 - 2x^3 + 2x^2 - 2x + 5x - 5

A = -5 (đpcm)

A = x( 2x - 3 ) + 2x²( x - 2 ) - 2x( x² - x + 1 ) + 5( x - 1 )

A = 2x² - 3x + 2x³ - 4x² - 2x³ + 2x² - 2x + 5x - 5

A = -5 

Vậy A không phụ thuộc vào x ( đpcm ) 

1h30' mik gửi đáp án

haiz( bất lực )

x^2 + 100x = 0

<=> x(x + 100) = 0

<=> x = 0 hoặc x = -100

\(x^2+100x=0\)

\(\Leftrightarrow x\times\left(x+100\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=0\\x+100=0\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=0\\x=-100\end{cases}}\)