câu 1
a) Cho a ≥ 0, b ≥ 0. Chứng minh bất đẳng thức Cauchy:\(\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\)
b) Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng:\(\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}+\frac{ab}{c}\ge a+b+c\)
c) Cho a, b > 0 và 3a + 5b = 12. Tìm giá trị lớn nhất của tích P = ab.
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
DD
1
N
24 tháng 12 2019
Ta co:
\(9=x^2+y^2\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2}\Rightarrow-3\sqrt{2}\le x+y\le3\sqrt{2}\)
Dat \(\hept{\begin{cases}a=x+y\\b=xy\end{cases}\left(a\ne-3,-3\sqrt{2}\le a\le3\sqrt{2}\right)}\)
\(\Rightarrow a^2-2b=9\Leftrightarrow\frac{a^2}{2}-\frac{9}{2}=b\)
\(\Rightarrow Q=\frac{b}{a+3}=\frac{a^2-9}{2a+6}=\frac{a-3}{2}=\frac{x+y-3}{2}\)
Xet \(0\le x+y\le3\sqrt{2}\)
\(\Rightarrow Q=\frac{x+y-3}{2}\le\frac{\sqrt{2\left(x^2+y^2\right)}-3}{2}=\frac{3\sqrt{2}-3}{2}\)
Dau '=' xay ra khi \(x=y=\frac{3}{\sqrt{2}}\)
Xet \(-3\sqrt{2}\le x+y< 0\)
\(\Rightarrow Q=\frac{x+y-3}{2}\ge\frac{-3\sqrt{2}-3}{2}\)
Dau '=' xay ra khi \(x=y=-\frac{3}{\sqrt{2}}\)
S
1
23 tháng 12 2019
Hai biểu thức bằng nhau thì:
\(x^2-2\sqrt{3x}-\sqrt{3}=2x^2+2x+\sqrt{3}\)
\(\Leftrightarrow x^2+2x+2\sqrt{3x}+2\sqrt{3}=0\)
\(\Leftrightarrow x^2+2x\left(1+\sqrt{3}\right)+2\sqrt{3}=0\)
\('\Delta=\left(1+\sqrt{3}\right)^2-2\sqrt{3}=1+2\sqrt{3}+3-2\sqrt{3}=4\)
pt có hai hai nghiệm phân biệt là :
\(x_1=-\left(1+\sqrt{3}\right)+\sqrt{4}=1-\sqrt{3}\)
\(x_2=-\left(1+\sqrt{3}\right)-\sqrt{4}=-3-\sqrt{3}\)
a) \(\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^2+2ab+b^2}{4}-ab\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\) (luôn đúng \(\forall a,b\) )
=>đpcm
Cô si
\(\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}\ge2\sqrt{\frac{bc}{a}\cdot\frac{ca}{b}}=2c\)
\(\frac{ca}{b}+\frac{ab}{c}\ge2\sqrt{\frac{ca}{b}\cdot\frac{ab}{c}}=2a\)
\(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}\ge2\sqrt{\frac{ab}{c}\cdot\frac{bc}{a}}=2b\)
Cộng lại ta có:
\(2\left(\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}+\frac{ab}{c}\right)\ge2\left(a+b+c\right)\Rightarrowđpcm\)